2543.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

(1−sin⁡22α)[(1+tg2α)2+4 tg2α](1+sin⁡22α)[(1+tg2α)2−4 tg2α]=1\frac{(1 - \sin^2 2\alpha)[(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 + 4 \text{ tg}^2 \alpha]}{(1 + \sin^2 2\alpha)[(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 - 4 \text{ tg}^2 \alpha]} = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti izraz 1+tg2α 1 + \text{tg}^2 \alpha izražavajući tangens preko sinusa i kosinusa:

1+tg2α=1+sin⁡2αcos⁡2α=cos⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α=1cos⁡2α1 + \text{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Kvadriranjem dobijenog izraza imamo:

(1+tg2α)2=1cos⁡4α(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 = \frac{1}{\cos^4 \alpha}

Sada ćemo izraziti 4tg2α 4 \text{tg}^2 \alpha tako da ima isti imenilac cos⁡4α: \cos^4 \alpha :

4tg2α=4sin⁡2αcos⁡2α=4sin⁡2αcos⁡2αcos⁡4α4 \text{tg}^2 \alpha = \frac{4 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha}

Primenom formule za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α, \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha , brojilac možemo zapisati kao:

4sin⁡2αcos⁡2α=(2sin⁡αcos⁡α)2=sin⁡22α4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = \sin^2 2\alpha

Dakle, izraz 4tg2α 4 \text{tg}^2 \alpha postaje:

4tg2α=sin⁡22αcos⁡4α4 \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u drugu zagradu u brojiocu početnog razlomka:

(1+tg2α)2+4 tg2α=1cos⁡4α+sin⁡22αcos⁡4α=1+sin⁡22αcos⁡4α(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 + 4 \text{ tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^4 \alpha} + \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{1 + \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}

Na isti način zamenjujemo vrednosti u drugu zagradu u imeniocu:

(1+tg2α)2−4 tg2α=1cos⁡4α−sin⁡22αcos⁡4α=1−sin⁡22αcos⁡4α(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 - 4 \text{ tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^4 \alpha} - \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{1 - \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}

Vraćamo ove uprošćene izraze u početni razlomak (levu stranu identiteta):

(1−sin⁡22α)⋅1+sin⁡22αcos⁡4α(1+sin⁡22α)⋅1−sin⁡22αcos⁡4α\frac{(1 - \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1 + \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}}{(1 + \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1 - \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}}

Skraćivanjem imenioca cos⁡4α \cos^4 \alpha iz oba dela razlomka dobijamo:

(1−sin⁡22α)(1+sin⁡22α)(1+sin⁡22α)(1−sin⁡22α)\frac{(1 - \sin^2 2\alpha)(1 + \sin^2 2\alpha)}{(1 + \sin^2 2\alpha)(1 - \sin^2 2\alpha)}

Svi faktori u brojiocu i imeniocu se skraćuju, čime dobijamo konačan rezultat:

11

Pošto smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, identitet je uspešno dokazan.

1=11 = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti