Sinus dvostrukog ugla: identitet sa 1 + tg kvadrat

Prvo ćemo uprostiti izraz $1 + \text{tg}^2 \alpha$ izražavajući tangens preko sinusa i kosinusa:

1 + \text{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Kvadriranjem dobijenog izraza imamo:

(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 = \frac{1}{\cos^4 \alpha}

Sada ćemo izraziti $4 \text{tg}^2 \alpha$ tako da ima isti imenilac $\cos^4 \alpha :$

4 \text{tg}^2 \alpha = \frac{4 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha}

Primenom formule za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha ,$ brojilac možemo zapisati kao:

4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = \sin^2 2\alpha

Dakle, izraz $4 \text{tg}^2 \alpha$ postaje:

4 \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u drugu zagradu u brojiocu početnog razlomka:

(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 + 4 \text{ tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^4 \alpha} + \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{1 + \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}

Na isti način zamenjujemo vrednosti u drugu zagradu u imeniocu:

(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2 - 4 \text{ tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^4 \alpha} - \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{1 - \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}

Vraćamo ove uprošćene izraze u početni razlomak (levu stranu identiteta):

\frac{(1 - \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1 + \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}}{(1 + \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1 - \sin^2 2\alpha}{\cos^4 \alpha}}

Skraćivanjem imenioca $\cos^4 \alpha$ iz oba dela razlomka dobijamo:

\frac{(1 - \sin^2 2\alpha)(1 + \sin^2 2\alpha)}{(1 + \sin^2 2\alpha)(1 - \sin^2 2\alpha)}

Svi faktori u brojiocu i imeniocu se skraćuju, čime dobijamo konačan rezultat:

1

Pošto smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, identitet je uspešno dokazan.

1 = 1

712.g