2546.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Ako su α \alpha i β \beta oštri uglovi za koje je tg α=17 \text{tg } \alpha = \frac{1}{7} i tg β=13, \text{tg } \beta = \frac{1}{3} , tada je α+2β=45∘. \alpha + 2\beta = 45^\circ . Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali da je α+2β=45∘, \alpha + 2\beta = 45^\circ , možemo odrediti tangens tog ugla i pokazati da je jednak 1. Prvo ćemo odrediti tg 2β \text{tg } 2\beta koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla.

tg 2β=2tg β1−tg2β\text{tg } 2\beta = \frac{2 \text{tg } \beta}{1 - \text{tg}^2 \beta}

Zamenjujemo datu vrednost tg β=13 \text{tg } \beta = \frac{1}{3} u formulu.

tg 2β=2⋅131−(13)2\text{tg } 2\beta = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}

Računamo vrednost izraza.

tg 2β=231−19=2389=2⋅93⋅8=34\text{tg } 2\beta = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8} = \frac{3}{4}

Sada koristimo adicionu formulu za tangens zbira dva ugla kako bismo odredili tg (α+2β). \text{tg }(\alpha + 2\beta) .

tg (α+2β)=tg α+tg 2β1−tg α⋅tg 2β\text{tg }(\alpha + 2\beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } 2\beta}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } 2\beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti tg α=17 \text{tg } \alpha = \frac{1}{7} i tg 2β=34. \text{tg } 2\beta = \frac{3}{4} .

tg (α+2β)=17+341−17⋅34\text{tg }(\alpha + 2\beta) = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac i računamo vrednost.

tg (α+2β)=4+21281−328=25282528\text{tg }(\alpha + 2\beta) = \frac{\frac{4 + 21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}

Skraćivanjem dobijamo konačnu vrednost tangensa.

tg (α+2β)=1\text{tg }(\alpha + 2\beta) = 1

Pošto su α \alpha i β \beta oštri uglovi i njihovi tangensi su manji od 1, zaključujemo da su oba ugla manja od 45∘. 45^\circ . Zbog toga je 2β<90∘, 2\beta < 90^\circ , pa je zbir α+2β<135∘. \alpha + 2\beta < 135^\circ . Jedini ugao u tom intervalu čiji je tangens jednak 1 jeste 45∘. 45^\circ .

α+2β=45∘\alpha + 2\beta = 45^\circ

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti