2546. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Da bismo dokazali da je $\alpha + 2\beta = 45^\circ ,$ možemo odrediti tangens tog ugla i pokazati da je jednak 1. Prvo ćemo odrediti $\text{tg } 2\beta$ koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla.

\text{tg } 2\beta = \frac{2 \text{tg } \beta}{1 - \text{tg}^2 \beta}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg } \beta = \frac{1}{3}$ u formulu.

\text{tg } 2\beta = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}

Računamo vrednost izraza.

\text{tg } 2\beta = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8} = \frac{3}{4}

Sada koristimo adicionu formulu za tangens zbira dva ugla kako bismo odredili $\text{tg }(\alpha + 2\beta) .$

\text{tg }(\alpha + 2\beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } 2\beta}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } 2\beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti $\text{tg } \alpha = \frac{1}{7}$ i $\text{tg } 2\beta = \frac{3}{4} .$

\text{tg }(\alpha + 2\beta) = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac i računamo vrednost.

\text{tg }(\alpha + 2\beta) = \frac{\frac{4 + 21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}

Skraćivanjem dobijamo konačnu vrednost tangensa.

\text{tg }(\alpha + 2\beta) = 1

Pošto su $\alpha$ i $\beta$ oštri uglovi i njihovi tangensi su manji od 1, zaključujemo da su oba ugla manja od $45^\circ .$ Zbog toga je $2\beta < 90^\circ ,$ pa je zbir $\alpha + 2\beta < 135^\circ .$ Jedini ugao u tom intervalu čiji je tangens jednak 1 jeste $45^\circ .$

\alpha + 2\beta = 45^\circ

713