2540. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Prvo računamo vrednost za $\text{tg } 2\alpha$ koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla.

\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg } \alpha = \frac{1}{2}$ u formulu.

\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}

Sada računamo $\text{tg } 4\alpha$ ponovnom primenom formule za tangens dvostrukog ugla na ugao $2\alpha .$

\text{tg } 4\alpha = \frac{2 \text{tg } 2\alpha}{1 - \text{tg}^2 2\alpha}

Zamenjujemo dobijenu vrednost $\text{tg } 2\alpha = \frac{4}{3} .$

\text{tg } 4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{24}{7}

Konačno, računamo $\text{tg } 5\alpha$ koristeći adicionu formulu za tangens zbira uglova. Zapisujemo $5\alpha$ kao $4\alpha + \alpha .$

\text{tg } 5\alpha = \text{tg } (4\alpha + \alpha) = \frac{\text{tg } 4\alpha + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } 4\alpha \text{tg } \alpha}

Zamenjujemo poznate vrednosti $\text{tg } 4\alpha = -\frac{24}{7}$ i $\text{tg } \alpha = \frac{1}{2} .$

\text{tg } 5\alpha = \frac{-\frac{24}{7} + \frac{1}{2}}{1 - \left(-\frac{24}{7}\right) \cdot \frac{1}{2}}

Sređujemo izraz kako bismo dobili konačan rezultat.

\text{tg } 5\alpha = \frac{\frac{-48 + 7}{14}}{1 + \frac{12}{7}} = \frac{-\frac{41}{14}}{\frac{19}{7}} = \frac{-\frac{41}{14}}{\frac{38}{14}} = -\frac{41}{38}

714