2545. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Da bismo odredili $\sin 3x ,$ možemo koristiti adicionu formulu za sinus zbira uglova, zapisujući $3x$ kao $2x + x .$

\sin 3x = \sin(2x + x)

Primenjujemo adicionu formulu za sinus.

\sin 3x = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x

Koristimo formule za dvostruki ugao: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ i $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x .$

\sin 3x = (2 \sin x \cos x) \cos x + (1 - 2 \sin^2 x) \sin x

Množimo odgovarajuće članove.

\sin 3x = 2 \sin x \cos^2 x + \sin x - 2 \sin^3 x

Zamenjujemo $\cos^2 x$ sa $1 - \sin^2 x$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

\sin 3x = 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + \sin x - 2 \sin^3 x

Sređujemo izraz kako bismo dobili formulu za sinus trostrukog ugla.

\sin 3x = 2 \sin x - 2 \sin^3 x + \sin x - 2 \sin^3 x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x

Izvlačimo zajednički faktor $\sin x$ iz dobijenog izraza.

\sin 3x = \sin x (3 - 4 \sin^2 x)

Zamenjujemo poznatu vrednost $\sin x = \frac{1}{4}$ u dobijeni izraz.

\sin 3x = \frac{1}{4} \left(3 - 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2\right)

Kvadriramo razlomak unutar zagrade.

\sin 3x = \frac{1}{4} \left(3 - 4 \cdot \frac{1}{16}\right)

Skraćujemo razlomak i računamo vrednost u zagradi.

\sin 3x = \frac{1}{4} \left(3 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{12}{4} - \frac{1}{4}\right)

Množimo razlomke za konačan rezultat.

\sin 3x = \frac{1}{4} \cdot \frac{11}{4} = \frac{11}{16}

715.a