2559. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Prvo ćemo izvesti formulu za kosinus trostrukog ugla. Koristimo adicionu formulu za kosinus zbira i formule za dvostruki ugao.

\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x

Primenjujemo formule za dvostruki ugao $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ i $\sin 2x = 2 \sin x \cos x .$

\cos 3x = (\cos^2 x - \sin^2 x)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x

Sređujemo izraz množenjem i grupisanjem članova.

\cos 3x = \cos^3 x - \sin^2 x \cos x - 2\sin^2 x \cos x = \cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x

Izvlačimo zajednički faktor $\cos x$ kako bismo uprostili računanje, u skladu sa uputstvom.

\cos 3x = \cos x (\cos^2 x - 3\sin^2 x)

Zamenjujemo $\cos^2 x$ sa $1 - \sin^2 x$ unutar zagrade.

\cos 3x = \cos x (1 - \sin^2 x - 3\sin^2 x) = \cos x (1 - 4\sin^2 x)

Sada računamo vrednost za $\cos x .$ Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

Pošto je ugao $x$ u prvom kvadrantu ( $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ), njegov kosinus je pozitivan.

\cos x = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}

Zamenjujemo poznate vrednosti $\sin x = \frac{1}{4}$ i $\cos x = \frac{\sqrt{15}}{4}$ u uprošćenu formulu za $\cos 3x .$

\cos 3x = \frac{\sqrt{15}}{4} \left(1 - 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2\right)

Računamo konačnu vrednost izraza.

\cos 3x = \frac{\sqrt{15}}{4} \left(1 - 4 \cdot \frac{1}{16}\right) = \frac{\sqrt{15}}{4} \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{16}

2559.Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla