2553. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Pošto je ugao $x$ u prvom kvadrantu ( $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ), kosinus je pozitivan. Računamo $\cos x$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}

Sada računamo tangens ugla $x$ kao količnik sinusa i kosinusa:

\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}

Da bismo izračunali $\text{tg } 3x ,$ možemo ga zapisati kao $\text{tg }(2x + x)$ i primeniti adicionu formulu. Za to nam je prvo potreban $\text{tg } 2x :$

\text{tg } 3x = \text{tg }(2x + x) = \frac{\text{tg } 2x + \text{tg } x}{1 - \text{tg } 2x \text{tg } x}

Računamo $\text{tg } 2x$ koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla:

\text{tg } 2x = \frac{2 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{15}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{15}}}{1 - \frac{1}{15}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{15}}}{\frac{14}{15}}

Sređujemo dobijeni dvojni razlomak:

\text{tg } 2x = \frac{2 \cdot 15}{14 \sqrt{15}} = \frac{15}{7 \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}}{7 \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{7}

Sada zamenjujemo vrednosti za $\text{tg } 2x$ i $\text{tg } x$ u formulu za $\text{tg } 3x :$

\text{tg } 3x = \frac{\frac{\sqrt{15}}{7} + \frac{1}{\sqrt{15}}}{1 - \frac{\sqrt{15}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{15}}}

Sređujemo izraz. U imeniocu se $\sqrt{15}$ krati, a u brojiocu svodimo na zajednički imenilac:

\text{tg } 3x = \frac{\frac{15 + 7}{7 \sqrt{15}}}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{\frac{22}{7 \sqrt{15}}}{\frac{6}{7}}

Rešavamo dvojni razlomak, skraćujemo zajedničke faktore i racionališemo imenilac:

\text{tg } 3x = \frac{22 \cdot 7}{6 \cdot 7 \sqrt{15}} = \frac{22}{6 \sqrt{15}} = \frac{11}{3 \sqrt{15}} = \frac{11 \sqrt{15}}{45}

715.v