2566.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati da izraz sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x \frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} ne zavisi od x. x .

REŠENJE ZADATKA

Svodićemo razlomke na zajednički imenilac.

sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x}{\sin x \cos x}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus razlike uglova u brojiocu: sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡(3x−x)sin⁡xcos⁡x\frac{\sin(3x - x)}{\sin x \cos x}

Uprošćavamo izraz u brojiocu.

sin⁡2xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x \cos x}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x .

2sin⁡xcos⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x \cos x}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡xcos⁡x \sin x \cos x (uz pretpostavku da je sin⁡xcos⁡x≠0, \sin x \cos x \neq 0 , kako bi izraz bio definisan).

22

Dobili smo konstantu, čime je dokazano da vrednost početnog izraza ne zavisi od x. x .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti