2554. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Kvadriramo datu jednačinu kako bismo dobili izraz koji sadrži proizvod $\sin x \cos x .$

(\sin x + \cos x)^2 = a^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levu stranu jednačine.

\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = a^2

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

1 + 2\sin x \cos x = a^2

Izražavamo proizvod $\sin x \cos x$ preko $a .$

\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}

Sada posmatramo izraz koji se traži u zadatku. Zapisujemo ga preko zbira kvadrata i primenjujemo algebarski identitet $A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB .$

\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

\sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2(\sin x \cos x)^2 = 1 - 2(\sin x \cos x)^2

Zamenjujemo ranije dobijeni izraz za $\sin x \cos x$ u jednačinu.

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2

Kvadriramo razlomak i sređujemo izraz.

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\frac{(a^2 - 1)^2}{4} = 1 - \frac{(a^2 - 1)^2}{2}

Razvijamo kvadrat binoma u brojiocu i svodimo na zajednički imenilac kako bismo dobili konačno rešenje.

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{2 - (a^4 - 2a^2 + 1)}{2} = \frac{2 - a^4 + 2a^2 - 1}{2} = \frac{-a^4 + 2a^2 + 1}{2}

717