2552. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Neka je $x = 18^\circ .$ Tada data jednakost postaje:

\sin(2x) = \cos(3x)

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na levu stranu jednačine:

\sin(2x) = 2 \sin x \cos x

Transformišemo desnu stranu jednačine, $\cos(3x) ,$ koristeći adicione formule i formule za dvostruki ugao:

\cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x)\cos x - \sin(2x)\sin x

Menjamo $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ i $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ u prethodni izraz:

\cos(3x) = (1 - 2\sin^2 x)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x

Sređujemo izraz za $\cos(3x)$ izvlačenjem zajedničkog faktora $\cos x :$

\cos(3x) = \cos x - 2\sin^2 x \cos x - 2\sin^2 x \cos x = \cos x (1 - 4\sin^2 x)

Izjednačavamo dobijene izraze za levu i desnu stranu:

2 \sin x \cos x = \cos x (1 - 4\sin^2 x)

Pošto je $x = 18^\circ ,$ važi $\cos 18^\circ \neq 0 ,$ pa možemo podeliti celu jednačinu sa $\cos x :$

2 \sin x = 1 - 4\sin^2 x

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $\sin x :$

4\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \sin x$ i rešavamo kvadratnu jednačinu. U rešenju izvlačimo zajednički faktor kako bismo skratili razlomak:

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(-1 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}

Vraćamo smenu. Kako je ugao od $18^\circ$ u prvom kvadrantu, njegov sinus mora biti pozitivan ( $\sin 18^\circ > 0$ ), pa odbacujemo negativno rešenje:

\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

718.a