PrethodniSledeći
2555.

718.b

TEKST ZADATKA

Izračunati: cos⁡18∘ \cos 18^\circ ; koristeći se jednakošću sin⁡(2⋅18∘)=cos⁡(3⋅18∘). \sin(2 \cdot 18^\circ) = \cos(3 \cdot 18^\circ) .

REŠENJE ZADATKA

Neka je α=18∘. \alpha = 18^\circ . Tada data jednakost postaje:

sin⁡2α=cos⁡3α\sin 2\alpha = \cos 3\alpha

Izrazimo cos⁡3α \cos 3\alpha preko funkcija jednostrukog ugla koristeći adicione formule:

cos⁡3α=cos⁡(2α+α)=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha

Primenjujemo formule za dvostruki ugao cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha i sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :

cos⁡3α=(cos⁡2α−sin⁡2α)cos⁡α−(2sin⁡αcos⁡α)sin⁡α\cos 3\alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)\cos \alpha - (2\sin \alpha \cos \alpha)\sin \alpha

Množenjem i sređivanjem dobijamo:

cos⁡3α=cos⁡3α−sin⁡2αcos⁡α−2sin⁡2αcos⁡α=cos⁡3α−3sin⁡2αcos⁡α\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos \alpha = \cos^3 \alpha - 3\sin^2 \alpha \cos \alpha

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α=1−cos⁡2α, \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha , svodimo izraz samo na kosinus:

cos⁡3α=cos⁡3α−3(1−cos⁡2α)cos⁡α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3(1 - \cos^2 \alpha)\cos \alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha

Vraćamo se u početnu jednačinu sin⁡2α=cos⁡3α \sin 2\alpha = \cos 3\alpha i primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na levoj strani:

2sin⁡αcos⁡α=4cos⁡3α−3cos⁡α2\sin \alpha \cos \alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha

Pošto je α=18∘, \alpha = 18^\circ , važi cos⁡α≠0, \cos \alpha \neq 0 , pa celu jednačinu možemo podeliti sa cos⁡α: \cos \alpha :

2sin⁡α=4cos⁡2α−32\sin \alpha = 4\cos^2 \alpha - 3

Zamenjujemo cos⁡2α \cos^2 \alpha sa 1−sin⁡2α 1 - \sin^2 \alpha kako bismo dobili jednačinu samo po sin⁡α: \sin \alpha :

2sin⁡α=4(1−sin⁡2α)−32\sin \alpha = 4(1 - \sin^2 \alpha) - 3

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po sin⁡α: \sin \alpha :

4sin⁡2α+2sin⁡α−1=04\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha - 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

(sin⁡α)1,2=−2±22−4⋅4⋅(−1)2⋅4=−2±208=−2±258=−1±54(\sin \alpha)_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}

S obzirom na to da je 18∘ 18^\circ oštar ugao (nalazi se u prvom kvadrantu), njegov sinus mora biti pozitivan (sin⁡18∘>0 \sin 18^\circ > 0 ). Zato odbacujemo negativno rešenje:

sin⁡18∘=5−14\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

Sada računamo cos⁡218∘ \cos^2 18^\circ koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

cos⁡218∘=1−sin⁡218∘=1−(5−14)2\cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ = 1 - \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2

Kvadriramo izraz i sređujemo:

cos⁡218∘=1−5−25+116=1−6−2516=16−6+2516=10+2516\cos^2 18^\circ = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}

Pošto je cos⁡18∘>0, \cos 18^\circ > 0 , uzimamo pozitivan koren. Izvlačimo zajednički faktor pod korenom kako bismo dobili konačan oblik rešenja:

cos⁡18∘=10+2516=2(5+5)4\cos 18^\circ = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt{5})}}{4}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu