2539.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Izračunati: tg 18∘ \text{tg } 18^\circ ; koristeći se jednakošću sin⁡(2⋅18∘)=cos⁡(3⋅18∘). \sin(2 \cdot 18^\circ) = \cos(3 \cdot 18^\circ) .

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu α=18∘. \alpha = 18^\circ . Tada data jednakost postaje:

sin⁡2α=cos⁡3α\sin 2\alpha = \cos 3\alpha

Zapisujemo cos⁡3α \cos 3\alpha kao cos⁡(2α+α) \cos(2\alpha + \alpha) i primenjujemo adicionu formulu za kosinus:

cos⁡(2α+α)=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α\cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha

Primenjujemo formule za dvostruki ugao sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha i cos⁡2α=1−2sin⁡2α: \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha :

cos⁡3α=(1−2sin⁡2α)cos⁡α−(2sin⁡αcos⁡α)sin⁡α\cos 3\alpha = (1 - 2 \sin^2 \alpha) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha

Sređujemo dobijeni izraz:

cos⁡3α=cos⁡α−2sin⁡2αcos⁡α−2sin⁡2αcos⁡α=cos⁡α−4sin⁡2αcos⁡α\cos 3\alpha = \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha = \cos \alpha - 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Vraćamo se u početnu jednačinu sin⁡2α=cos⁡3α \sin 2\alpha = \cos 3\alpha i zamenjujemo sin⁡2α \sin 2\alpha sa 2sin⁡αcos⁡α: 2 \sin \alpha \cos \alpha :

2sin⁡αcos⁡α=cos⁡α−4sin⁡2αcos⁡α2 \sin \alpha \cos \alpha = \cos \alpha - 4 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Pošto je α=18∘, \alpha = 18^\circ , važi cos⁡α≠0, \cos \alpha \neq 0 , pa celu jednačinu možemo podeliti sa cos⁡α: \cos \alpha :

2sin⁡α=1−4sin⁡2α2 \sin \alpha = 1 - 4 \sin^2 \alpha

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po sin⁡α: \sin \alpha :

4sin⁡2α+2sin⁡α−1=04 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha - 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

(sin⁡α)1,2=−2±22−4⋅4⋅(−1)2⋅4=−2±4+168=−2±208=−2±258=−1±54(\sin \alpha)_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}

Pošto je α=18∘ \alpha = 18^\circ u prvom kvadrantu, sin⁡18∘>0. \sin 18^\circ > 0 . Zato odbacujemo negativno rešenje:

sin⁡18∘=5−14\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

Sada računamo cos⁡18∘ \cos 18^\circ koristeći osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α=1−sin⁡2α. \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha . Pošto je ugao u prvom kvadrantu, kosinus je pozitivan:

cos⁡18∘=1−(5−14)2=1−6−2516=10+2516=10+254\cos 18^\circ = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16}} = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}

Računamo tg 18∘ \text{tg } 18^\circ kao količnik sinusa i kosinusa:

tg 18∘=sin⁡18∘cos⁡18∘=5−1410+254=5−110+25\text{tg } 18^\circ = \frac{\sin 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{5} - 1}{4}}{\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}

Racionališemo imenilac množenjem i brojioca i imenioca sa 10−25: \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} :

tg 18∘=5−110+25⋅10−2510−25=(5−1)10−25100−20=(5−1)2(10−25)80\text{tg } 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \cdot \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}} = \frac{(\sqrt{5} - 1)\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{\sqrt{100 - 20}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2 (10 - 2\sqrt{5})}}{\sqrt{80}}

Kvadriramo izraz 5−1 \sqrt{5} - 1 pod korenom i sređujemo imenilac:

tg 18∘=(6−25)(10−25)45=60−125−205+2045=80−32545\text{tg } 18^\circ = \frac{\sqrt{(6 - 2\sqrt{5})(10 - 2\sqrt{5})}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{60 - 12\sqrt{5} - 20\sqrt{5} + 20}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{80 - 32\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}}

Izvlačimo zajednički faktor 16 16 pod korenom u brojiocu, skraćujemo razlomak i ponovo racionališemo kako bismo dobili konačan rezultat:

tg 18∘=16(5−25)45=45−2545=5−255⋅55=5(5−25)5\text{tg } 18^\circ = \frac{\sqrt{16(5 - 2\sqrt{5})}}{4\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5(5 - 2\sqrt{5})}}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti