718.v

Uvodimo smenu $\alpha = 18^\circ .$ Tada data jednakost postaje:

Zapisujemo $\cos 3\alpha$ kao $\cos(2\alpha + \alpha)$ i primenjujemo adicionu formulu za kosinus:

Primenjujemo formule za dvostruki ugao $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ i $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha :$

Sređujemo dobijeni izraz:

Vraćamo se u početnu jednačinu $\sin 2\alpha = \cos 3\alpha$ i zamenjujemo $\sin 2\alpha$ sa $2 \sin \alpha \cos \alpha :$

Pošto je $\alpha = 18^\circ ,$ važi $\cos \alpha \neq 0 ,$ pa celu jednačinu možemo podeliti sa $\cos \alpha :$

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $\sin \alpha :$

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

Pošto je $\alpha = 18^\circ$ u prvom kvadrantu, $\sin 18^\circ > 0 .$ Zato odbacujemo negativno rešenje:

Sada računamo $\cos 18^\circ$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha .$ Pošto je ugao u prvom kvadrantu, kosinus je pozitivan:

Računamo $\text{tg } 18^\circ$ kao količnik sinusa i kosinusa:

Racionališemo imenilac množenjem i brojioca i imenioca sa $\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} :$

Kvadriramo izraz $\sqrt{5} - 1$ pod korenom i sređujemo imenilac:

Izvlačimo zajednički faktor $16$ pod korenom u brojiocu, skraćujemo razlomak i ponovo racionališemo kako bismo dobili konačan rezultat: