2541.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Izračunati: ctg 18∘ \text{ctg } 18^\circ koristeći se jednakošću sin⁡(2⋅18∘)=cos⁡(3⋅18∘). \sin(2 \cdot 18^\circ) = \cos(3 \cdot 18^\circ) .

REŠENJE ZADATKA

Uvedimo smenu α=18∘. \alpha = 18^\circ . Tada data jednakost postaje:

sin⁡2α=cos⁡3α\sin 2\alpha = \cos 3\alpha

Primenimo formule za sinus dvostrukog i kosinus trostrukog ugla. Kosinus trostrukog ugla možemo izvesti kao cos⁡(2α+α): \cos(2\alpha + \alpha) :

2sin⁡αcos⁡α=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α2 \sin \alpha \cos \alpha = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha

Zamenimo cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha i sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha na desnoj strani:

2sin⁡αcos⁡α=(cos⁡2α−sin⁡2α)cos⁡α−(2sin⁡αcos⁡α)sin⁡α2 \sin \alpha \cos \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)\cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha)\sin \alpha

Sredimo desnu stranu jednačine:

2sin⁡αcos⁡α=cos⁡3α−3sin⁡2αcos⁡α2 \sin \alpha \cos \alpha = \cos^3 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Pošto je α=18∘, \alpha = 18^\circ , važi cos⁡α≠0, \cos \alpha \neq 0 , pa celu jednačinu možemo podeliti sa cos⁡α: \cos \alpha :

2sin⁡α=cos⁡2α−3sin⁡2α2 \sin \alpha = \cos^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha

Iskoristimo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α=1−sin⁡2α: \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha :

2sin⁡α=1−sin⁡2α−3sin⁡2α2 \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha

Sredimo jednačinu tako da dobijemo kvadratnu jednačinu po sin⁡α: \sin \alpha :

4sin⁡2α+2sin⁡α−1=04 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha - 1 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu:

(sin⁡α)1,2=−2±22−4⋅4⋅(−1)2⋅4=−2±208=−2±258=−1±54(\sin \alpha)_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}

S obzirom na to da je α=18∘ \alpha = 18^\circ u prvom kvadrantu, sinus mora biti pozitivan (sin⁡18∘>0 \sin 18^\circ > 0 ). Zato odbacujemo negativno rešenje:

sin⁡18∘=5−14\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

Sada računamo cos⁡218∘ \cos^2 18^\circ koristeći osnovni identitet:

cos⁡218∘=1−sin⁡218∘=1−(5−14)2\cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ = 1 - \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2

Kvadriramo izraz i sredimo:

cos⁡218∘=1−5−25+116=1−6−2516=16−(6−25)16=10+2516\cos^2 18^\circ = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{16 - (6 - 2\sqrt{5})}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}

Tražimo ctg 18∘. \text{ctg } 18^\circ . Prvo ćemo izračunati ctg218∘ \text{ctg}^2 18^\circ kao količnik cos⁡218∘ \cos^2 18^\circ i sin⁡218∘ \sin^2 18^\circ (gde je sin⁡218∘=6−2516 \sin^2 18^\circ = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} ):

ctg218∘=cos⁡218∘sin⁡218∘=10+25166−2516=10+256−25\text{ctg}^2 18^\circ = \frac{\cos^2 18^\circ}{\sin^2 18^\circ} = \frac{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}}{\frac{6 - 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{6 - 2\sqrt{5}}

Izvučemo zajednički faktor 2 u brojiocu i imeniocu, skratimo razlomak, a zatim racionališemo imenilac:

ctg218∘=2(5+5)2(3−5)=5+53−5⋅3+53+5\text{ctg}^2 18^\circ = \frac{2(5 + \sqrt{5})}{2(3 - \sqrt{5})} = \frac{5 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}

Izmnožimo izraze i sredimo razlomak izvlačenjem zajedničkog faktora:

ctg218∘=15+55+35+532−(5)2=20+859−5=4(5+25)4=5+25\text{ctg}^2 18^\circ = \frac{15 + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{20 + 8\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{4(5 + 2\sqrt{5})}{4} = 5 + 2\sqrt{5}

Pošto je 18∘ 18^\circ u prvom kvadrantu, kotangens je pozitivan. Korenovanjem dobijamo konačan rezultat:

ctg 18∘=5+25\text{ctg } 18^\circ = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti