2548.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Krenućemo od desne strane jednakosti. Primenjujemo adicione formule za tangens razlike i zbira uglova:

Zamenjujemo $\alpha = \frac{\pi}{3}$ i $\beta = x ,$ i koristimo poznatu vrednost $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} :$

Ubacujemo ove izraze u početni izraz sa desne strane:

Množimo razlomke. U brojiocu i imeniocu prepoznajemo razliku kvadrata $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 :$

Sređujemo izraz kvadriranjem i množenjem sa $\text{tg } x :$

Sada ćemo izvesti formulu za $\text{tg } 3x$ kako bismo pokazali da je jednaka dobijenom izrazu. Zapisujemo $3x$ kao $2x + x$ i primenjujemo adicionu formulu:

Primenjujemo formulu za tangens dvostrukog ugla $\text{tg } 2x = \frac{2\text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x} :$

Svodićemo brojilac i imenilac na zajednički imenilac $1 - \text{tg}^2 x :$

Skraćujemo zajednički imenilac i sređujemo izraze u brojiocu i imeniocu:

Pošto smo pokazali da su i leva i desna strana jednake istom izrazu, time je dokaz završen.