2547.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Pokazati da je:

tg 6∘ tg 54∘ tg 66∘=tg 18∘\text{tg } 6^\circ \text{ tg } 54^\circ \text{ tg } 66^\circ = \text{tg } 18^\circ
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se uglovi 54∘ 54^\circ i 66∘ 66^\circ mogu zapisati preko uglova od 60∘ 60^\circ i 6∘. 6^\circ .

tg 54∘=tg (60∘−6∘),tg 66∘=tg (60∘+6∘)\text{tg } 54^\circ = \text{tg }(60^\circ - 6^\circ), \quad \text{tg } 66^\circ = \text{tg }(60^\circ + 6^\circ)

Zamenimo ovo u početni izraz sa leve strane jednakosti.

tg 6∘ tg (60∘−6∘) tg (60∘+6∘)\text{tg } 6^\circ \text{ tg }(60^\circ - 6^\circ) \text{ tg }(60^\circ + 6^\circ)

Primenimo adicione formule za tangens razlike i zbira uglova: tg (α±β)=tg α±tg β1∓tg α tg β. \text{tg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg } \alpha \pm \text{tg } \beta}{1 \mp \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} .

tg 6∘⋅tg 60∘−tg 6∘1+tg 60∘ tg 6∘⋅tg 60∘+tg 6∘1−tg 60∘ tg 6∘\text{tg } 6^\circ \cdot \frac{\text{tg } 60^\circ - \text{tg } 6^\circ}{1 + \text{tg } 60^\circ \text{ tg } 6^\circ} \cdot \frac{\text{tg } 60^\circ + \text{tg } 6^\circ}{1 - \text{tg } 60^\circ \text{ tg } 6^\circ}

Znamo da je tg 60∘=3, \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} , pa zamenjujemo tu vrednost u izraz.

tg 6∘⋅3−tg 6∘1+3 tg 6∘⋅3+tg 6∘1−3 tg 6∘\text{tg } 6^\circ \cdot \frac{\sqrt{3} - \text{tg } 6^\circ}{1 + \sqrt{3} \text{ tg } 6^\circ} \cdot \frac{\sqrt{3} + \text{tg } 6^\circ}{1 - \sqrt{3} \text{ tg } 6^\circ}

Pomnožimo razlomke koristeći formulu za razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .

tg 6∘⋅(3)2−(tg 6∘)212−(3 tg 6∘)2=tg 6∘⋅3−tg26∘1−3tg26∘\text{tg } 6^\circ \cdot \frac{(\sqrt{3})^2 - (\text{tg } 6^\circ)^2}{1^2 - (\sqrt{3} \text{ tg } 6^\circ)^2} = \text{tg } 6^\circ \cdot \frac{3 - \text{tg}^2 6^\circ}{1 - 3 \text{tg}^2 6^\circ}

Pomnožimo dobijeni razlomak sa tg 6∘. \text{tg } 6^\circ .

3tg 6∘−tg36∘1−3tg26∘\frac{3 \text{tg } 6^\circ - \text{tg}^3 6^\circ}{1 - 3 \text{tg}^2 6^\circ}

Da bismo prepoznali ovaj izraz, izvešćemo formulu za tangens trostrukog ugla tg 3α, \text{tg } 3\alpha , koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla tg 2α=2tg α1−tg2α. \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} .

tg 3α=tg (2α+α)=tg 2α+tg α1−tg 2α tg α\text{tg } 3\alpha = \text{tg }(2\alpha + \alpha) = \frac{\text{tg } 2\alpha + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } 2\alpha \text{ tg } \alpha}

Zamenimo formulu za tg 2α \text{tg } 2\alpha u dobijeni izraz i sredimo ga.

tg 3α=2tg α1−tg2α+tg α1−2tg α1−tg2α⋅tg α=2tg α+tg α(1−tg2α)1−tg2α1−tg2α−2tg2α1−tg2α=3tg α−tg3α1−3tg2α\text{tg } 3\alpha = \frac{\frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} + \text{tg } \alpha}{1 - \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \cdot \text{tg } \alpha} = \frac{\frac{2 \text{tg } \alpha + \text{tg } \alpha(1 - \text{tg}^2 \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha}}{\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha - 2 \text{tg}^2 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{3 \text{tg } \alpha - \text{tg}^3 \alpha}{1 - 3 \text{tg}^2 \alpha}

Upoređujući naš izraz sa izvedenom formulom za tg 3α, \text{tg } 3\alpha , vidimo da je α=6∘. \alpha = 6^\circ .

3tg 6∘−tg36∘1−3tg26∘=tg (3⋅6∘)=tg 18∘\frac{3 \text{tg } 6^\circ - \text{tg}^3 6^\circ}{1 - 3 \text{tg}^2 6^\circ} = \text{tg }(3 \cdot 6^\circ) = \text{tg } 18^\circ

Ovim smo dokazali traženu jednakost.

tg 6∘ tg 54∘ tg 66∘=tg 18∘\text{tg } 6^\circ \text{ tg } 54^\circ \text{ tg } 66^\circ = \text{tg } 18^\circ

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti