Dokaz: kosinus zbira kroz proizvod sinusa

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira uglova:

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

Zamenjujemo dobijeni izraz u brojilac polaznog razlomka:

\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}

Razdvajamo razlomak na razliku dva razlomka sa istim imeniocem:

\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}

Skraćujemo drugi razlomak i grupišemo činioce u prvom:

\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} - 1

Primenjujemo definiciju kotangensa $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ na prvi deo izraza:

\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1

Ovim smo transformisali levu stranu u desnu, čime je identitet dokazan.

\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1

675