2480.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

cos⁡(α+β)sin⁡αsin⁡β=ctgαctgβ−1\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira uglova:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

Zamenjujemo dobijeni izraz u brojilac polaznog razlomka:

cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βsin⁡αsin⁡β\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}

Razdvajamo razlomak na razliku dva razlomka sa istim imeniocem:

cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β−sin⁡αsin⁡βsin⁡αsin⁡β\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}

Skraćujemo drugi razlomak i grupišemo činioce u prvom:

cos⁡αsin⁡α⋅cos⁡βsin⁡β−1\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} - 1

Primenjujemo definiciju kotangensa ctgx=cos⁡xsin⁡x \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} na prvi deo izraza:

ctgαctgβ−1\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1

Ovim smo transformisali levu stranu u desnu, čime je identitet dokazan.

cos⁡(α+β)sin⁡αsin⁡β=ctgαctgβ−1\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti