677

Polazimo od date jednakosti.

Izvučemo zajednički faktor $\text{ctg} \gamma$ iz druga dva sabirka.

Prebacimo $\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta$ na desnu stranu jednakosti.

Pošto su $\alpha$ i $\beta$ oštri uglovi, njihovi kotangensi su pozitivni, pa je $\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta \neq 0 .$ Deljenjem sa ovim izrazom dobijamo:

Podsetimo se adicione formule za kotangens zbira:

Primetimo da je desna strana u našem izrazu jednaka negativnoj vrednosti adicione formule.

Koristimo osobinu kotangensa da je $-\text{ctg} x = \text{ctg}(\pi - x) .$

Pošto su $\alpha ,$ $\beta$ i $\gamma$ oštri uglovi, važi $0 < \alpha + \beta < \pi$ i $0 < \gamma < \frac{\pi}{2} .$ Kako oba argumenta pripadaju intervalu $(0, \pi)$ na kom je funkcija kotangens injektivna, možemo ih izjednačiti.

Prebacivanjem $\alpha$ i $\beta$ na levu stranu dobijamo traženu jednakost, čime je dokaz završen.