TEKST ZADATKA
Dokazati da je α+β+γ=π, ako su α, β i γ oštri uglovi i ctgαctgβ+ctgαctgγ+ctgβctgγ=1.
REŠENJE ZADATKA
Polazimo od date jednakosti.
ctgαctgβ+ctgαctgγ+ctgβctgγ=1 Izvučemo zajednički faktor ctgγ iz druga dva sabirka.
ctgαctgβ+ctgγ(ctgα+ctgβ)=1 Prebacimo ctgαctgβ na desnu stranu jednakosti.
ctgγ(ctgα+ctgβ)=1−ctgαctgβ Pošto su α i β oštri uglovi, njihovi kotangensi su pozitivni, pa je ctgα+ctgβ=0. Deljenjem sa ovim izrazom dobijamo:
ctgγ=ctgα+ctgβ1−ctgαctgβ Podsetimo se adicione formule za kotangens zbira:
ctg(α+β)=ctgα+ctgβctgαctgβ−1 Primetimo da je desna strana u našem izrazu jednaka negativnoj vrednosti adicione formule.
ctgγ=−ctgα+ctgβctgαctgβ−1=−ctg(α+β) Koristimo osobinu kotangensa da je −ctgx=ctg(π−x).
ctgγ=ctg(π−(α+β)) Pošto su α, β i γ oštri uglovi, važi 0<α+β<π i 0<γ<2π. Kako oba argumenta pripadaju intervalu (0,π) na kom je funkcija kotangens injektivna, možemo ih izjednačiti.
γ=π−(α+β) Prebacivanjem α i β na levu stranu dobijamo traženu jednakost, čime je dokaz završen.
α+β+γ=π