PrethodniSledeći
2481.

677

TEKST ZADATKA

Dokazati da je α+β+γ=π, \alpha + \beta + \gamma = \pi , ako su α, \alpha , β \beta i γ \gamma oštri uglovi i ctgαctgβ+ctgαctgγ+ctgβctgγ=1. \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta + \text{ctg} \alpha \text{ctg} \gamma + \text{ctg} \beta \text{ctg} \gamma = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od date jednakosti.

ctgαctgβ+ctgαctgγ+ctgβctgγ=1\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta + \text{ctg} \alpha \text{ctg} \gamma + \text{ctg} \beta \text{ctg} \gamma = 1

Izvučemo zajednički faktor ctgγ \text{ctg} \gamma iz druga dva sabirka.

ctgαctgβ+ctgγ(ctgα+ctgβ)=1\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma (\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta) = 1

Prebacimo ctgαctgβ \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta na desnu stranu jednakosti.

ctgγ(ctgα+ctgβ)=1−ctgαctgβ\text{ctg} \gamma (\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta) = 1 - \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta

Pošto su α \alpha i β \beta oštri uglovi, njihovi kotangensi su pozitivni, pa je ctgα+ctgβ≠0. \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta \neq 0 . Deljenjem sa ovim izrazom dobijamo:

ctgγ=1−ctgαctgβctgα+ctgβ\text{ctg} \gamma = \frac{1 - \text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}

Podsetimo se adicione formule za kotangens zbira:

ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}

Primetimo da je desna strana u našem izrazu jednaka negativnoj vrednosti adicione formule.

ctgγ=−ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ=−ctg(α+β)\text{ctg} \gamma = -\frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta} = -\text{ctg}(\alpha + \beta)

Koristimo osobinu kotangensa da je −ctgx=ctg(π−x). -\text{ctg} x = \text{ctg}(\pi - x) .

ctgγ=ctg(π−(α+β))\text{ctg} \gamma = \text{ctg}(\pi - (\alpha + \beta))

Pošto su α, \alpha , β \beta i γ \gamma oštri uglovi, važi 0<α+β<π 0 < \alpha + \beta < \pi i 0<γ<π2. 0 < \gamma < \frac{\pi}{2} . Kako oba argumenta pripadaju intervalu (0,π) (0, \pi) na kom je funkcija kotangens injektivna, možemo ih izjednačiti.

γ=π−(α+β)\gamma = \pi - (\alpha + \beta)

Prebacivanjem α \alpha i β \beta na levu stranu dobijamo traženu jednakost, čime je dokaz završen.

α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu