Dokaz: kosinus dvostrukog ugla preko tangensa alfa

Krenućemo od desne strane identiteta i transformisati je koristeći definiciju tangensa $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .$

\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Svodimo izraze u brojocu i imeniocu na zajednički imenilac $\cos^2 \alpha .$

\frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca $\cos^2 \alpha$ u dvojnom razlomku, dobijamo jednostavniji izraz.

\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ u imeniocu.

\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{1}

Konačno, koristimo adicionu formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .$

\cos 2\alpha

Ovim je dokazano da je desna strana jednaka levoj strani identiteta.

\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \cos 2\alpha

683.b