2505.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati trigonometrijski identitet: cos⁡2α=1−tg2α1+tg2α. \cos 2\alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od desne strane identiteta i transformisati je koristeći definiciju tangensa tg α=sin⁡αcos⁡α. \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

1−tg2α1+tg2α=1−sin⁡2αcos⁡2α1+sin⁡2αcos⁡2α\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Svodimo izraze u brojocu i imeniocu na zajednički imenilac cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2αcos⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α\frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca cos⁡2α \cos^2 \alpha u dvojnom razlomku, dobijamo jednostavniji izraz.

cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α+sin⁡2α\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α+sin⁡2α=1 \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 u imeniocu.

cos⁡2α−sin⁡2α1\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{1}

Konačno, koristimo adicionu formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .

cos⁡2α\cos 2\alpha

Ovim je dokazano da je desna strana jednaka levoj strani identiteta.

1−tg2α1+tg2α=cos⁡2α\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \cos 2\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti