2496.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati trigonometrijski identitet: sin⁡2α=2tgα1+tg2α. \sin 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} .

REŠENJE ZADATKA

Krećemo od desne strane izraza i koristimo definiciju tangensa tgα=sin⁡αcos⁡α. \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

2tgα1+tg2α=2sin⁡αcos⁡α1+(sin⁡αcos⁡α)2\frac{2 \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2}

Sređujemo imenilac stepenovanjem razlomka i dovođenjem na zajednički imenilac.

2sin⁡αcos⁡α1+sin⁡2αcos⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α+sin⁡2αcos⁡2α\frac{2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 u imeniocu.

2sin⁡αcos⁡α1cos⁡2α\frac{\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

2sin⁡α⋅cos⁡2αcos⁡α⋅1\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\cos \alpha \cdot 1}

Skraćujemo izraz sa cos⁡α \cos \alpha (uz uslov cos⁡α≠0 \cos \alpha \neq 0 ).

2sin⁡αcos⁡α2 \sin \alpha \cos \alpha

Na osnovu formule za sinus dvostrukog ugla, dobijamo levu stranu identiteta.

2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti