2496. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Krećemo od desne strane izraza i koristimo definiciju tangensa $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .$

\frac{2 \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2}

Sređujemo imenilac stepenovanjem razlomka i dovođenjem na zajednički imenilac.

\frac{2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ u imeniocu.

\frac{\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\cos \alpha \cdot 1}

Skraćujemo izraz sa $\cos \alpha$ (uz uslov $\cos \alpha \neq 0$ ).

2 \sin \alpha \cos \alpha

Na osnovu formule za sinus dvostrukog ugla, dobijamo levu stranu identiteta.

2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha

683.a