2506. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Dokaz započinjemo od poznate formule za kosinus dvostrukog ugla.

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Znamo da važi osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje sinus i kosinus istog ugla.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Iz osnovnog identiteta izražavamo $\sin^2 \alpha$ preko $\cos^2 \alpha .$

\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz za $\sin^2 \alpha$ u formulu za kosinus dvostrukog ugla.

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha)

Sređujemo izraz oslobađanjem od zagrade i grupisanjem članova.

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha

Sabiramo članove uz $\cos^2 \alpha .$

\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1

Izolujemo član sa $\cos^2 \alpha$ tako što prebacimo -1 na levu stranu jednakosti.

1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha

Deljenjem cele jednačine sa 2 dobijamo traženi identitet.

\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}

682.g