2507.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati trigonometrijski identitet: sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α. \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za sinus zbira dva ugla, gde ugao 3α 3\alpha pišemo kao 2α+α. 2\alpha + \alpha .

sin⁡3α=sin⁡(2α+α)=sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡α\sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha

Koristimo adicione formule za dvostruki ugao: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha i cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .

sin⁡3α=(2sin⁡αcos⁡α)cos⁡α+(cos⁡2α−sin⁡2α)sin⁡α\sin 3\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \sin \alpha

Sređujemo izraz množenjem članova.

sin⁡3α=2sin⁡αcos⁡2α+sin⁡αcos⁡2α−sin⁡3α\sin 3\alpha = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin^3 \alpha

Sabiramo slične članove i izvlačimo zajednički faktor sin⁡α \sin \alpha iz celog izraza.

sin⁡3α=sin⁡α(3cos⁡2α−sin⁡2α)\sin 3\alpha = \sin \alpha (3 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Kako želimo da desna strana identiteta sadrži samo funkciju sinus, koristimo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α=1−sin⁡2α. \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha .

sin⁡3α=sin⁡α(3(1−sin⁡2α)−sin⁡2α)\sin 3\alpha = \sin \alpha (3(1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha)

Sređujemo izraz unutar zagrade.

sin⁡3α=sin⁡α(3−3sin⁡2α−sin⁡2α)=sin⁡α(3−4sin⁡2α)\sin 3\alpha = \sin \alpha (3 - 3 \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \sin \alpha (3 - 4 \sin^2 \alpha)

Množenjem dobijamo konačan oblik identiteta.

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti