2493.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati trigonometrijski identitet: cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α. \cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od leve strane identiteta i napisaćemo argument 3α 3\alpha kao zbir 2α+α. 2\alpha + \alpha .

cos⁡3α=cos⁡(2α+α)\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y. \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .

cos⁡(2α+α)=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α\cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha

Sada koristimo formule za dvostruki ugao: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha i sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

(cos⁡2α−sin⁡2α)cos⁡α−(2sin⁡αcos⁡α)sin⁡α(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha

Oslobađamo se zagrada množenjem članova.

cos⁡3α−sin⁡2αcos⁡α−2sin⁡2αcos⁡α\cos^3 \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Sređujemo izraz sabiranjem sličnih članova.

cos⁡3α−3sin⁡2αcos⁡α\cos^3 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Kako želimo da krajnji izraz sadrži samo kosinus, koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α=1−cos⁡2α. \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha .

cos⁡3α−3(1−cos⁡2α)cos⁡α\cos^3 \alpha - 3(1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha

Ponovo množimo i sređujemo izraz.

cos⁡3α−3cos⁡α+3cos⁡3α\cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha + 3 \cos^3 \alpha

Sabiramo članove sa trećim stepenom.

4cos⁡3α−3cos⁡α4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha

Na kraju, izvlačimo zajednički faktor cos⁡α \cos \alpha kako bismo dobili faktorisan oblik rešenja.

cos⁡α(4cos⁡2α−3)\cos \alpha (4 \cos^2 \alpha - 3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti