PrethodniSledeći
2492.

656.đ

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: sin⁡(α+β)+cos⁡(α−β)=(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡β+cos⁡β). \sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \beta + \cos \beta) .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicione formule za sinus zbira i kosinus razlike uglova na levu stranu jednakosti.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u levu stranu identiteta.

sin⁡(α+β)+cos⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β+cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Grupišemo sabirke kako bismo izvukli zajedničke faktore.

=(sin⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)+(cos⁡αsin⁡β+cos⁡αcos⁡β)= (\sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta)

Iz prve zagrade izvlačimo zajednički faktor sin⁡α, \sin \alpha , a iz druge cos⁡α. \cos \alpha .

=sin⁡α(cos⁡β+sin⁡β)+cos⁡α(sin⁡β+cos⁡β)= \sin \alpha (\cos \beta + \sin \beta) + \cos \alpha (\sin \beta + \cos \beta)

Sada izvlačimo zajednički faktor (sin⁡β+cos⁡β). (\sin \beta + \cos \beta) .

=(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡β+cos⁡β)= (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \beta + \cos \beta)

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu