Dokaz identiteta sa sinusom zbira i kosinusom razlike

Primenjujemo adicione formule za sinus zbira i kosinus razlike uglova na levu stranu jednakosti.

\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u levu stranu identiteta.

\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Grupišemo sabirke kako bismo izvukli zajedničke faktore.

= (\sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta)

Iz prve zagrade izvlačimo zajednički faktor $\sin \alpha ,$ a iz druge $\cos \alpha .$

= \sin \alpha (\cos \beta + \sin \beta) + \cos \alpha (\sin \beta + \cos \beta)

Sada izvlačimo zajednički faktor $(\sin \beta + \cos \beta) .$

= (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \beta + \cos \beta)

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

656.đ