2489.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Odrediti tg(x+y), \text{tg}(x + y) , ako je tgx=m1+m, \text{tg} x = \frac{m}{1 + m} , tgy=11+2m. \text{tg} y = \frac{1}{1 + 2m} .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo adicionu formulu za tangens zbira uglova:

tg(x+y)=tgx+tgy1−tgxtgy\text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg} x + \text{tg} y}{1 - \text{tg} x \text{tg} y}

Zamenjujemo date vrednosti u formulu:

tg(x+y)=m1+m+11+2m1−m1+m⋅11+2m\text{tg}(x + y) = \frac{\frac{m}{1 + m} + \frac{1}{1 + 2m}}{1 - \frac{m}{1 + m} \cdot \frac{1}{1 + 2m}}

Računamo i sređujemo izraz u brojiocu tako što svodimo na zajednički imenilac:

m1+m+11+2m=m(1+2m)+1(1+m)(1+m)(1+2m)=m+2m2+1+m(1+m)(1+2m)=2m2+2m+1(1+m)(1+2m)\frac{m}{1 + m} + \frac{1}{1 + 2m} = \frac{m(1 + 2m) + 1(1 + m)}{(1 + m)(1 + 2m)} = \frac{m + 2m^2 + 1 + m}{(1 + m)(1 + 2m)} = \frac{2m^2 + 2m + 1}{(1 + m)(1 + 2m)}

Računamo i sređujemo izraz u imeniocu tako što svodimo na zajednički imenilac:

1−m(1+m)(1+2m)=(1+m)(1+2m)−m(1+m)(1+2m)=1+2m+m+2m2−m(1+m)(1+2m)=2m2+2m+1(1+m)(1+2m)1 - \frac{m}{(1 + m)(1 + 2m)} = \frac{(1 + m)(1 + 2m) - m}{(1 + m)(1 + 2m)} = \frac{1 + 2m + m + 2m^2 - m}{(1 + m)(1 + 2m)} = \frac{2m^2 + 2m + 1}{(1 + m)(1 + 2m)}

Vraćamo sređene izraze u početni razlomak:

tg(x+y)=2m2+2m+1(1+m)(1+2m)2m2+2m+1(1+m)(1+2m)\text{tg}(x + y) = \frac{\frac{2m^2 + 2m + 1}{(1 + m)(1 + 2m)}}{\frac{2m^2 + 2m + 1}{(1 + m)(1 + 2m)}}

Pošto su brojilac i imenilac potpuno jednaki, razlomak se skraćuje i dobijamo konačno rešenje:

tg(x+y)=1\text{tg}(x + y) = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti