Dokaz identiteta sa kvadratima kosinusa i zbirom

Polazimo od leve strane jednakosti i primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta :$

\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2

Množimo članove i kvadriramo izraz u zagradi:

\cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Potiremo suprotne članove $2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta$ i $-2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta ,$ i sabiramo odgovarajuće članove:

\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Izdvajamo zajednički faktor $\cos^2 \alpha$ iz prva dva člana:

\cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta) + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta :$

\cos^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Izdvajamo zajednički faktor $\sin^2 \beta :$

\sin^2 \beta (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)

Kako je $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 ,$ dobijamo desnu stranu jednakosti, čime je identitet dokazan:

\sin^2 \beta

Započni učenje

Online časovi

656.d

Beleške