2488.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

cos⁡2α−2cos⁡αcos⁡βcos⁡(α+β)+cos⁡2(α+β)=sin⁡2β\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta) = \sin^2 \beta
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti i primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β: \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta :

cos⁡2α−2cos⁡αcos⁡β(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)2\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2

Množimo članove i kvadriramo izraz u zagradi:

cos⁡2α−2cos⁡2αcos⁡2β+2cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β+cos⁡2αcos⁡2β−2cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β+sin⁡2αsin⁡2β\cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Potiremo suprotne članove 2cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta i −2cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β, -2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta , i sabiramo odgovarajuće članove:

cos⁡2α−cos⁡2αcos⁡2β+sin⁡2αsin⁡2β\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Izdvajamo zajednički faktor cos⁡2α \cos^2 \alpha iz prva dva člana:

cos⁡2α(1−cos⁡2β)+sin⁡2αsin⁡2β\cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta) + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet 1−cos⁡2β=sin⁡2β: 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta :

cos⁡2αsin⁡2β+sin⁡2αsin⁡2β\cos^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Izdvajamo zajednički faktor sin⁡2β: \sin^2 \beta :

sin⁡2β(cos⁡2α+sin⁡2α)\sin^2 \beta (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)

Kako je cos⁡2α+sin⁡2α=1, \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 , dobijamo desnu stranu jednakosti, čime je identitet dokazan:

sin⁡2β\sin^2 \beta

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti