Uprostiti razlomak sa uglovima pi/7 i pi/14

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira na brojilac: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$

\sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \sin \frac{2\pi}{7} = \sin\left(\frac{\pi}{7} + \frac{2\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike na imenilac: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{14} + \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{\pi}{14} = \cos\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{14}\right)

Računamo razliku uglova u imeniocu svodeći ih na zajednički imenilac.

\cos\left(\frac{2\pi}{14} - \frac{\pi}{14}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{14}\right)

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni razlomak.

\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{14}\right)}

Primećujemo da su uglovi $\frac{3\pi}{7}$ i $\frac{\pi}{14}$ komplementarni, odnosno da je njihov zbir jednak $\frac{\pi}{2} .$

\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi}{14} = \frac{6\pi}{14} + \frac{\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2}

Koristimo vezu između komplementarnih uglova $\sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ da bismo izrazili brojilac preko kosinusa.

\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{14}\right)

Zamenjujemo dobijeni izraz u razlomak i skraćujemo.

\frac{\cos\left(\frac{\pi}{14}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{14}\right)} = 1

659