2469.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: sin⁡20∘cos⁡10∘+cos⁡160∘cos⁡100∘sin⁡21∘cos⁡9∘+cos⁡159∘cos⁡99∘ \frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ}

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti brojilac datog izraza. Koristićemo redukcione formule za cos⁡160∘ \cos 160^\circ i cos⁡100∘. \cos 100^\circ .

cos⁡160∘=cos⁡(180∘−20∘)=−cos⁡20∘cos⁡100∘=cos⁡(90∘+10∘)=−sin⁡10∘\begin{aligned} \cos 160^\circ &= \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ \\ \cos 100^\circ &= \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u brojilac dobijamo:

sin⁡20∘cos⁡10∘+(−cos⁡20∘)(−sin⁡10∘)=sin⁡20∘cos⁡10∘+cos⁡20∘sin⁡10∘\sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ

Primenom adicione formule za sinus zbira sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β, \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta , brojilac postaje:

sin⁡(20∘+10∘)=sin⁡30∘=12\sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

Sada ćemo uprostiti imenilac. Slično kao kod brojioca, primenjujemo redukcione formule na cos⁡159∘ \cos 159^\circ i cos⁡99∘. \cos 99^\circ .

cos⁡159∘=cos⁡(180∘−21∘)=−cos⁡21∘cos⁡99∘=cos⁡(90∘+9∘)=−sin⁡9∘\begin{aligned} \cos 159^\circ &= \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ \\ \cos 99^\circ &= \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u imenilac dobijamo:

sin⁡21∘cos⁡9∘+(−cos⁡21∘)(−sin⁡9∘)=sin⁡21∘cos⁡9∘+cos⁡21∘sin⁡9∘\sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ

Primenom adicione formule za sinus zbira, imenilac postaje:

sin⁡(21∘+9∘)=sin⁡30∘=12\sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

Vraćamo dobijene vrednosti brojioca i imenioca u početni izraz i računamo konačan rezultat:

1212=1\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti