2490.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Ako su α \alpha i β \beta oštri uglovi i ako je tgα=12 \text{tg} \alpha = \frac{1}{2} i tgβ=13, \text{tg} \beta = \frac{1}{3} , pokazati da je α+β=π4. \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicionu formulu za tangens zbira dva ugla:

tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Zamenjujemo date vrednosti tgα=12 \text{tg} \alpha = \frac{1}{2} i tgβ=13 \text{tg} \beta = \frac{1}{3} u formulu:

tg(α+β)=12+131−12⋅13\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}

Računamo vrednosti u brojiocu i imeniocu:

tg(α+β)=3+261−16\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}}

Sređujemo izraz:

tg(α+β)=5656\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}

Dobijamo vrednost tangensa zbira:

tg(α+β)=1\text{tg}(\alpha + \beta) = 1

Pošto su α \alpha i β \beta oštri uglovi, odnosno 0<α<π2 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} i 0<β<π2, 0 < \beta < \frac{\pi}{2} , njihov zbir se nalazi u intervalu 0<α+β<π. 0 < \alpha + \beta < \pi .

Jedini ugao u intervalu (0,π) (0, \pi) čiji je tangens jednak 1 1 je π4. \frac{\pi}{4} . Time je pokazano da je:

α+β=π4\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti