2486.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Ako je tgα=pq, \text{tg} \alpha = \frac{p}{q} , tgβ=q−pq+p \text{tg} \beta = \frac{q - p}{q + p} i α,β∈(−π2,π2), \alpha, \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , onda je α+β=π4 \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} ili α+β=−3π4. \alpha + \beta = -\frac{3\pi}{4} . Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo adicionu formulu za tangens zbira uglova:

tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Zamenjujemo date vrednosti tgα=pq \text{tg} \alpha = \frac{p}{q} i tgβ=q−pq+p \text{tg} \beta = \frac{q - p}{q + p} u formulu:

tg(α+β)=pq+q−pq+p1−pq⋅q−pq+p\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{p}{q} + \frac{q - p}{q + p}}{1 - \frac{p}{q} \cdot \frac{q - p}{q + p}}

Sređujemo izraz u brojiocu tako što svodimo razlomke na zajednički imenilac:

pq+q−pq+p=p(q+p)+q(q−p)q(q+p)=pq+p2+q2−pqq(q+p)=p2+q2q(q+p)\frac{p}{q} + \frac{q - p}{q + p} = \frac{p(q + p) + q(q - p)}{q(q + p)} = \frac{pq + p^2 + q^2 - pq}{q(q + p)} = \frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}

Sređujemo izraz u imeniocu:

1−pq⋅q−pq+p=1−p(q−p)q(q+p)=q(q+p)−p(q−p)q(q+p)=q2+pq−pq+p2q(q+p)=p2+q2q(q+p)1 - \frac{p}{q} \cdot \frac{q - p}{q + p} = 1 - \frac{p(q - p)}{q(q + p)} = \frac{q(q + p) - p(q - p)}{q(q + p)} = \frac{q^2 + pq - pq + p^2}{q(q + p)} = \frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}

Vraćamo sređene izraze u početnu formulu za tangens zbira:

tg(α+β)=p2+q2q(q+p)p2+q2q(q+p)=1\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}}{\frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}} = 1

Rešavamo dobijenu trigonometrijsku jednačinu tg(α+β)=1: \text{tg}(\alpha + \beta) = 1 :

α+β=π4+kπ,k∈Z\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Kako je dato da α,β∈(−π2,π2), \alpha, \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , određujemo interval u kom se nalazi zbir α+β: \alpha + \beta :

−π<α+β<π-\pi < \alpha + \beta < \pi

Tražimo celobrojne vrednosti k k za koje rešenje pripada intervalu (−π,π). (-\pi, \pi) . Za k=0 k = 0 i k=−1 k = -1 dobijamo:

α+β=π4iliα+β=π4−π=−3π4\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} \quad \text{ili} \quad \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}

Za ostale vrednosti k k rešenja izlaze izvan dozvoljenog intervala, čime je dokaz završen.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti