Zbir uglova iz tangensa p kroz q i (q − p) kroz (q + p)

Koristimo adicionu formulu za tangens zbira uglova:

\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Zamenjujemo date vrednosti $\text{tg} \alpha = \frac{p}{q}$ i $\text{tg} \beta = \frac{q - p}{q + p}$ u formulu:

\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{p}{q} + \frac{q - p}{q + p}}{1 - \frac{p}{q} \cdot \frac{q - p}{q + p}}

Sređujemo izraz u brojiocu tako što svodimo razlomke na zajednički imenilac:

\frac{p}{q} + \frac{q - p}{q + p} = \frac{p(q + p) + q(q - p)}{q(q + p)} = \frac{pq + p^2 + q^2 - pq}{q(q + p)} = \frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}

Sređujemo izraz u imeniocu:

1 - \frac{p}{q} \cdot \frac{q - p}{q + p} = 1 - \frac{p(q - p)}{q(q + p)} = \frac{q(q + p) - p(q - p)}{q(q + p)} = \frac{q^2 + pq - pq + p^2}{q(q + p)} = \frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}

Vraćamo sređene izraze u početnu formulu za tangens zbira:

\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}}{\frac{p^2 + q^2}{q(q + p)}} = 1

Rešavamo dobijenu trigonometrijsku jednačinu $\text{tg}(\alpha + \beta) = 1 :$

\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Kako je dato da $\alpha, \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ,$ određujemo interval u kom se nalazi zbir $\alpha + \beta :$

-\pi < \alpha + \beta < \pi

Tražimo celobrojne vrednosti $k$ za koje rešenje pripada intervalu $(-\pi, \pi) .$ Za $k = 0$ i $k = -1$ dobijamo:

\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} \quad \text{ili} \quad \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}

Za ostale vrednosti $k$ rešenja izlaze izvan dozvoljenog intervala, čime je dokaz završen.

661