2494.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: sin⁡3α=3sin⁡α−sin⁡3α4. \sin^3 \alpha = \frac{3 \sin \alpha - \sin 3\alpha}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od izraza za sinus trostrukog ugla sin⁡3α \sin 3\alpha i transformisati ga koristeći adicione formule.

sin⁡3α=sin⁡(2α+α)\sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha)

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y. \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y .

sin⁡(2α+α)=sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡α\sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha

Sada koristimo formule za dvostruki ugao: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha i cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .

sin⁡3α=(2sin⁡αcos⁡α)cos⁡α+(cos⁡2α−sin⁡2α)sin⁡α\sin 3\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \sin \alpha

Sređujemo izraz množenjem članova.

sin⁡3α=2sin⁡αcos⁡2α+sin⁡αcos⁡2α−sin⁡3α\sin 3\alpha = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin^3 \alpha

Sabiramo slične članove i koristimo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α=1−sin⁡2α \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha kako bismo sve izrazili preko sinusa.

sin⁡3α=3sin⁡αcos⁡2α−sin⁡3αsin⁡3α=3sin⁡α(1−sin⁡2α)−sin⁡3α\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin^3 \alpha \\ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^3 \alpha

Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove sa sin⁡3α. \sin^3 \alpha .

sin⁡3α=3sin⁡α−3sin⁡3α−sin⁡3αsin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 3 \sin^3 \alpha - \sin^3 \alpha \\ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha

Iz dobijene jednačine izolujemo član 4sin⁡3α. 4 \sin^3 \alpha .

4sin⁡3α=3sin⁡α−sin⁡3α4 \sin^3 \alpha = 3 \sin \alpha - \sin 3\alpha

Deljenjem cele jednačine sa 4 dobijamo traženi identitet.

sin⁡3α=3sin⁡α−sin⁡3α4\sin^3 \alpha = \frac{3 \sin \alpha - \sin 3\alpha}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti