2495.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Izračunati sin⁡2α, \sin 2\alpha , cos⁡2α \cos 2\alpha i tg2α, \text{tg} 2\alpha , ako je: sin⁡α=35 \sin \alpha = \frac{3}{5} i α∈(π2,π). \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednost cos⁡α \cos \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost za sin⁡α. \sin \alpha .

cos⁡2α=1−(35)2=1−925=1625\cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Pošto se ugao α \alpha nalazi u drugom kvadrantu (π2,π), \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) , kosinus mora biti negativan.

cos⁡α=−1625=−45\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}

Sada računamo sin⁡2α \sin 2\alpha koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla.

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅35⋅(−45)=−2425\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{24}{25}

Računamo cos⁡2α \cos 2\alpha koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla.

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=(−45)2−(35)2=1625−925=725\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left( -\frac{4}{5} \right)^2 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

Računamo tgα \text{tg} \alpha kako bismo mogli da izračunamo tg2α. \text{tg} 2\alpha .

tgα=sin⁡αcos⁡α=35−45=−34\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}

Konačno, računamo tg2α \text{tg} 2\alpha koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla.

tg2α=2tgα1−tg2α=2⋅(−34)1−(−34)2=−321−916=−32716=−32⋅167=−247\text{tg} 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right)}{1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti