2501.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Izračunati sin⁡2α, \sin 2\alpha , cos⁡2α \cos 2\alpha i tg2α, \text{tg} 2\alpha , ako je: cos⁡α=−513 \cos \alpha = -\frac{5}{13} i sin⁡α>0. \sin \alpha > 0 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti vrednost sin⁡α. \sin \alpha . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2α+cos⁡2α=1  ⟹  sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost cos⁡α=−513: \cos \alpha = -\frac{5}{13} :

sin⁡2α=1−(−513)2=1−25169=169−25169=144169\sin^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{5}{13} \right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}

Pošto je u zadatku dato da je sin⁡α>0, \sin \alpha > 0 , uzimamo pozitivnu vrednost korena:

sin⁡α=144169=1213\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}

Sada računamo sinus dvostrukog ugla koristeći formulu sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :

sin⁡2α=2⋅1213⋅(−513)=−120169\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = -\frac{120}{169}

Zatim računamo kosinus dvostrukog ugla koristeći formulu cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α: \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha :

cos⁡2α=(−513)2−(1213)2=25169−144169=−119169\cos 2\alpha = \left( -\frac{5}{13} \right)^2 - \left( \frac{12}{13} \right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}

Na kraju računamo tangens dvostrukog ugla. Najlakši način je preko odnosa sinusa i kosinusa dvostrukog ugla:

tg 2α=sin⁡2αcos⁡2α=−120169−119169=120119\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = \frac{120}{119}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti