Dvostruki ugao ako je kosinus minus 5/13

Prvo moramo odrediti vrednost $\sin \alpha .$ Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost $\cos \alpha = -\frac{5}{13} :$

\sin^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{5}{13} \right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}

Pošto je u zadatku dato da je $\sin \alpha > 0 ,$ uzimamo pozitivnu vrednost korena:

\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}

Sada računamo sinus dvostrukog ugla koristeći formulu $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :$

\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = -\frac{120}{169}

Zatim računamo kosinus dvostrukog ugla koristeći formulu $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha :$

\cos 2\alpha = \left( -\frac{5}{13} \right)^2 - \left( \frac{12}{13} \right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}

Na kraju računamo tangens dvostrukog ugla. Najlakši način je preko odnosa sinusa i kosinusa dvostrukog ugla:

\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = \frac{120}{119}

687.a