Dvostruki ugao ako je kosinus 4/5

Prvo računamo $\sin \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$ Iz njega sledi:

\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost za $\cos \alpha :$

\sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

Kako se ugao $\alpha$ nalazi u četvrtom kvadrantu $\left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) ,$ sinus je negativan, pa imamo:

\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}

Sada računamo $\sin 2\alpha$ koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}

Zatim računamo $\cos 2\alpha$ koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla:

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left( \frac{4}{5} \right)^2 - \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

Na kraju računamo $\text{tg} 2\alpha .$ To možemo uraditi preko odnosa sinusa i kosinusa dvostrukog ugla:

\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}

686.a