2504.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Izračunati sin⁡2α, \sin 2\alpha , cos⁡2α \cos 2\alpha i tg2α, \text{tg} 2\alpha , ako je: cos⁡α=45 \cos \alpha = \frac{4}{5} i α∈(3u2,2π). \alpha \in \left( \frac{3 u}{2}, 2\pi \right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo sin⁡α \sin \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 . Iz njega sledi:

sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost za cos⁡α: \cos \alpha :

sin⁡2α=1−(45)2=1−1625=925\sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

Kako se ugao α \alpha nalazi u četvrtom kvadrantu (3π2,2π), \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) , sinus je negativan, pa imamo:

sin⁡α=−925=−35\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}

Sada računamo sin⁡2α \sin 2\alpha koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅(−35)⋅45=−2425\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}

Zatim računamo cos⁡2α \cos 2\alpha koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla:

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=(45)2−(−35)2=1625−925=725\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left( \frac{4}{5} \right)^2 - \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

Na kraju računamo tg2α. \text{tg} 2\alpha . To možemo uraditi preko odnosa sinusa i kosinusa dvostrukog ugla:

tg 2α=sin⁡2αcos⁡2α=−2425725=−247\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti