Dokaz: kub kosinusa preko kosinusa alfa i 3 alfa

Krenućemo od formule za kosinus trostrukog ugla $\cos 3\alpha .$ Izraz $3\alpha$ možemo zapisati kao zbir $2\alpha + \alpha .$

\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .$

\cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha

Sada koristimo formule za dvostruki ugao: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ i $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .$

\cos 3\alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha

Sređujemo izraz množenjem zagrada.

\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Sabiramo slične članove.

\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Kako želimo da izrazimo sve preko kosinusa, koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha .$

\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3(1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha

Oslobađamo se zagrada i sređujemo izraz.

\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3\cos \alpha + 3\cos^3 \alpha

Dobijamo konačnu formulu za $\cos 3\alpha .$

\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha

Sada iz ove jednačine izolujemo član sa $\cos^3 \alpha .$

4\cos^3 \alpha = \cos 3\alpha + 3\cos \alpha

Deljenjem cele jednačine sa 4, dobijamo traženi identitet.

\cos^3 \alpha = \frac{\cos 3\alpha + 3 \cos \alpha}{4}

685.b