PrethodniSledeći
2500.

685.b

TEKST ZADATKA

Pokazati da je: cos⁡3α=cos⁡3α+3cos⁡α4. \cos^3 \alpha = \frac{\cos 3\alpha + 3 \cos \alpha}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Krenućemo od formule za kosinus trostrukog ugla cos⁡3α. \cos 3\alpha . Izraz 3α 3\alpha možemo zapisati kao zbir 2α+α. 2\alpha + \alpha .

cos⁡3α=cos⁡(2α+α)\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y. \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .

cos⁡(2α+α)=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α\cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha

Sada koristimo formule za dvostruki ugao: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha i sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

cos⁡3α=(cos⁡2α−sin⁡2α)cos⁡α−(2sin⁡αcos⁡α)sin⁡α\cos 3\alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha

Sređujemo izraz množenjem zagrada.

cos⁡3α=cos⁡3α−sin⁡2αcos⁡α−2sin⁡2αcos⁡α\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Sabiramo slične članove.

cos⁡3α=cos⁡3α−3sin⁡2αcos⁡α\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos \alpha

Kako želimo da izrazimo sve preko kosinusa, koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α=1−cos⁡2α. \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha .

cos⁡3α=cos⁡3α−3(1−cos⁡2α)cos⁡α\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3(1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha

Oslobađamo se zagrada i sređujemo izraz.

cos⁡3α=cos⁡3α−3cos⁡α+3cos⁡3α\cos 3\alpha = \cos^3 \alpha - 3\cos \alpha + 3\cos^3 \alpha

Dobijamo konačnu formulu za cos⁡3α. \cos 3\alpha .

cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha

Sada iz ove jednačine izolujemo član sa cos⁡3α. \cos^3 \alpha .

4cos⁡3α=cos⁡3α+3cos⁡α4\cos^3 \alpha = \cos 3\alpha + 3\cos \alpha

Deljenjem cele jednačine sa 4, dobijamo traženi identitet.

cos⁡3α=cos⁡3α+3cos⁡α4\cos^3 \alpha = \frac{\cos 3\alpha + 3 \cos \alpha}{4}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu