2499. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Krenimo od leve strane identiteta i zapišimo argument $3\alpha$ kao zbir $2\alpha + \alpha .$

\text{tg } 3\alpha = \text{tg }(2\alpha + \alpha)

Primenimo adicionu formulu za tangens zbira: $\text{tg }(x + y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \cdot \text{tg } y} .$

\text{tg }(2\alpha + \alpha) = \frac{\text{tg } 2\alpha + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } 2\alpha \cdot \text{tg } \alpha}

Sada koristimo formulu za tangens dvostrukog ugla: $\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} .$

\text{tg } 3\alpha = \frac{\frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} + \text{tg } \alpha}{1 - \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \cdot \text{tg } \alpha}

Sredimo brojilac i imenilac tako što ćemo ih svesti na zajednički imenilac $1 - \text{tg}^2 \alpha .$

\text{tg } 3\alpha = \frac{\frac{2 \text{tg } \alpha + \text{tg } \alpha(1 - \text{tg}^2 \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha}}{\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha - 2 \text{tg}^2 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}}

Skratimo zajednički imenilac $1 - \text{tg}^2 \alpha$ i sredimo izraze u brojiocu i imeniocu.

\text{tg } 3\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha + \text{tg } \alpha - \text{tg}^3 \alpha}{1 - 3 \text{tg}^2 \alpha}

U brojiocu možemo izvući zajednički faktor $\text{tg } \alpha$ iz prva dva člana, što nam daje konačan oblik identiteta.

\text{tg } 3\alpha = \frac{3 \text{tg } \alpha - \text{tg}^3 \alpha}{1 - 3 \text{tg}^2 \alpha}

2499.Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla