PrethodniSledeći
2798.

872.g

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: arctgx+arcctgx=π2 \text{arctg} x + \text{arcctg} x = \frac{\pi}{2} ;

REŠENJE ZADATKA

Uvedimo smenu α=arctgx. \alpha = \text{arctg} x . Na osnovu definicije arkustangensa, važi:

α∈(−π2,π2)itgα=x\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \quad \text{i} \quad \text{tg} \alpha = x

Iz trigonometrije znamo vezu između tangensa i kotangensa komplementarnih uglova:

ctg(π2−α)=tgα\text{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg} \alpha

Kako je tgα=x, \text{tg} \alpha = x , zamenom u prethodnu jednakost dobijamo:

ctg(π2−α)=x\text{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = x

Da bismo primenili definiciju arkuskotangensa, ugao π2−α \frac{\pi}{2} - \alpha mora pripadati intervalu (0,π). (0, \pi) . Proverimo to. Pošto α∈(−π2,π2), \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , množenjem sa −1 -1 dobijamo:

−α∈(−π2,π2)-\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Dodavanjem π2 \frac{\pi}{2} na sve strane intervala, dobijamo:

π2−α∈(0,π)\frac{\pi}{2} - \alpha \in (0, \pi)

Pošto je ctg(π2−α)=x \text{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = x i π2−α∈(0,π), \frac{\pi}{2} - \alpha \in (0, \pi) , po definiciji arkuskotangensa sledi:

arcctgx=π2−α\text{arcctg} x = \frac{\pi}{2} - \alpha

Vraćanjem smene α=arctgx, \alpha = \text{arctg} x , dobijamo:

arcctgx=π2−arctgx\text{arcctg} x = \frac{\pi}{2} - \text{arctg} x

Prebacivanjem arctgx \text{arctg} x na levu stranu, dobijamo traženi identitet:

arctgx+arcctgx=π2\text{arctg} x + \text{arcctg} x = \frac{\pi}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu