Dokaz identiteta: arctg(−x) = −arctg x

Uvedimo smenu:

y = \text{arctg}(-x)

Na osnovu definicije arkustangensa, ovo znači da važi:

\text{tg} y = -x, \quad y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Množenjem jednačine sa $-1$ dobijamo:

x = -\text{tg} y

S obzirom da je tangens neparna funkcija, važi $-\text{tg} y = \text{tg}(-y) ,$ pa jednačina postaje:

x = \text{tg}(-y)

Pošto $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ,$ sledi da i $-y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .$ Zato možemo primeniti funkciju arkustangens na obe strane jednačine:

\text{arctg} x = -y

Množenjem sa $-1$ dobijamo izraz za $y :$

y = -\text{arctg} x

Vraćanjem smene $y = \text{arctg}(-x)$ dobijamo traženi identitet:

\text{arctg}(-x) = -\text{arctg} x

Započni učenje

Online časovi

872.d

Beleške