Arkus tangens: arctg(tg(−8π/3))

Funkcija arkustangens je inverzna funkcija tangensa na intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .$ Zato važi jednakost:

\text{arctg}(\text{tg}(x)) = x, \quad \text{za } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Ugao $-\frac{8\pi}{3}$ ne pripada intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ,$ pa ne možemo direktno primeniti ovo pravilo.

Koristimo periodičnost funkcije tangens. Tangens je periodična funkcija sa osnovnim periodom $\pi ,$ što znači da važi:

\text{tg}(x) = \text{tg}(x + k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Tražimo ceo broj $k$ takav da ugao $-\frac{8\pi}{3} + k\pi$ pripada intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .$ Dodajemo $3\pi$ (odnosno $\frac{9\pi}{3}$ ):

-\frac{8\pi}{3} + 3\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{\pi}{3}

Pošto ugao $\frac{\pi}{3}$ pripada intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ,$ možemo zapisati:

\text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)

Sada zamenjujemo ovo u početni izraz i primenjujemo pravilo za inverznu funkciju:

\text{arctg}\left(\text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\right) = \text{arctg}\left(\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\pi}{3}

Započni učenje

Online časovi

873.g

Beleške