PrethodniSledeći
2787.

872.a

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: arcsin⁡x+arccos⁡x=π2 \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} ;

REŠENJE ZADATKA

Neka je α=arcsin⁡x. \alpha = \arcsin x . Prema definiciji arkussinusa, važi:

x=sin⁡α,α∈[−π2,π2]x = \sin \alpha, \quad \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Koristeći trigonometrijski identitet sin⁡α=cos⁡(π2−α), \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) , možemo zapisati:

x=cos⁡(π2−α)x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

Da bismo primenili definiciju arkuskosinusa, moramo proveriti da li ugao π2−α \frac{\pi}{2} - \alpha pripada intervalu [0,π]. [0, \pi] . Polazimo od ograničenja za α: \alpha :

−π2≤α≤π2-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}

Množenjem nejednakosti sa −1 -1 menja se znak nejednakosti, a zatim dodavanjem π2 \frac{\pi}{2} dobijamo:

0≤π2−α≤π0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \pi

Pošto π2−α∈[0,π] \frac{\pi}{2} - \alpha \in [0, \pi] i važi x=cos⁡(π2−α), x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) , prema definiciji arkuskosinusa sledi:

arccos⁡x=π2−α\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha

Zamenom α=arcsin⁡x \alpha = \arcsin x u prethodnu jednakost, dobijamo:

arccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x

Prebacivanjem arcsin⁡x \arcsin x na levu stranu, konačno dokazujemo traženi identitet:

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu