Dokaz: arccos(−x) = π − arccos x

Neka je $\alpha = \arccos x .$ Prema definiciji arkuskosinusa, važi:

x = \cos \alpha, \quad \alpha \in [0, \pi]

Pomnožimo prethodnu jednakost sa $-1$ kako bismo dobili izraz za $-x :$

-x = -\cos \alpha

Koristeći poznati trigonometrijski identitet $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha ,$ možemo zapisati:

-x = \cos(\pi - \alpha)

Da bismo primenili definiciju arkuskosinusa na izraz $-x = \cos(\pi - \alpha)$ i zaključili da je $\arccos(-x) = \pi - \alpha ,$ moramo proveriti da li ugao $\pi - \alpha$ pripada intervalu $[0, \pi] .$

Pošto znamo da $\alpha \in [0, \pi] ,$ množenjem sa $-1$ dobijamo $-\alpha \in [-\pi, 0] .$ Dodavanjem $\pi$ svim stranama nejednakosti sledi:

0 \le \pi - \alpha \le \pi \implies \pi - \alpha \in [0, \pi]

Kako ugao $\pi - \alpha$ pripada odgovarajućem intervalu, po definiciji arkuskosinusa možemo pisati:

\arccos(-x) = \pi - \alpha

Vraćanjem početne smene $\alpha = \arccos x$ dobijamo traženi identitet, čime je dokaz završen:

\arccos(-x) = \pi - \arccos x

Započni učenje

Online časovi

872.v

Beleške