PrethodniSledeći
2799.

872.v

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \arccos x
REŠENJE ZADATKA

Neka je α=arccos⁡x. \alpha = \arccos x . Prema definiciji arkuskosinusa, važi:

x=cos⁡α,α∈[0,π]x = \cos \alpha, \quad \alpha \in [0, \pi]

Pomnožimo prethodnu jednakost sa −1 -1 kako bismo dobili izraz za −x: -x :

−x=−cos⁡α-x = -\cos \alpha

Koristeći poznati trigonometrijski identitet cos⁡(π−α)=−cos⁡α, \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha , možemo zapisati:

−x=cos⁡(π−α)-x = \cos(\pi - \alpha)

Da bismo primenili definiciju arkuskosinusa na izraz −x=cos⁡(π−α) -x = \cos(\pi - \alpha) i zaključili da je arccos⁡(−x)=π−α, \arccos(-x) = \pi - \alpha , moramo proveriti da li ugao π−α \pi - \alpha pripada intervalu [0,π]. [0, \pi] .

Pošto znamo da α∈[0,π], \alpha \in [0, \pi] , množenjem sa −1 -1 dobijamo −α∈[−π,0]. -\alpha \in [-\pi, 0] . Dodavanjem π \pi svim stranama nejednakosti sledi:

0≤π−α≤π  ⟹  π−α∈[0,π]0 \le \pi - \alpha \le \pi \implies \pi - \alpha \in [0, \pi]

Kako ugao π−α \pi - \alpha pripada odgovarajućem intervalu, po definiciji arkuskosinusa možemo pisati:

arccos⁡(−x)=π−α\arccos(-x) = \pi - \alpha

Vraćanjem početne smene α=arccos⁡x \alpha = \arccos x dobijamo traženi identitet, čime je dokaz završen:

arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \arccos x

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu