Dokaz identiteta: arcsin(−x) = −arcsin x

Uvedimo smenu:

y = \arcsin(-x)

Na osnovu definicije arkussinusa, za $x \in [-1, 1]$ važi:

\sin y = -x, \quad y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Množenjem jednačine sa $-1 ,$ izražavamo $x :$

x = -\sin y

Kako je sinus neparna funkcija, važi $-\sin y = \sin(-y) ,$ pa jednačina postaje:

x = \sin(-y)

Pošto $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ,$ množenjem sa $-1$ dobijamo da i $-y$ pripada istom intervalu:

-y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Sada na jednačinu $x = \sin(-y)$ možemo primeniti definiciju arkussinusa:

\arcsin x = -y

Množenjem sa $-1$ izražavamo $y :$

y = -\arcsin x

Vraćanjem početne smene $y = \arcsin(-x) ,$ dobijamo traženi identitet:

\arcsin(-x) = -\arcsin x

872.b