PrethodniSledeći
2791.

872.b

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x \arcsin(-x) = -\arcsin x ;

REŠENJE ZADATKA

Uvedimo smenu:

y=arcsin⁡(−x)y = \arcsin(-x)

Na osnovu definicije arkussinusa, za x∈[−1,1] x \in [-1, 1] važi:

sin⁡y=−x,y∈[−π2,π2]\sin y = -x, \quad y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Množenjem jednačine sa −1, -1 , izražavamo x: x :

x=−sin⁡yx = -\sin y

Kako je sinus neparna funkcija, važi −sin⁡y=sin⁡(−y), -\sin y = \sin(-y) , pa jednačina postaje:

x=sin⁡(−y)x = \sin(-y)

Pošto y∈[−π2,π2], y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] , množenjem sa −1 -1 dobijamo da i −y -y pripada istom intervalu:

−y∈[−π2,π2]-y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Sada na jednačinu x=sin⁡(−y) x = \sin(-y) možemo primeniti definiciju arkussinusa:

arcsin⁡x=−y\arcsin x = -y

Množenjem sa −1 -1 izražavamo y: y :

y=−arcsin⁡xy = -\arcsin x

Vraćanjem početne smene y=arcsin⁡(−x), y = \arcsin(-x) , dobijamo traženi identitet:

arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\arcsin(-x) = -\arcsin x

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu