2785.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Izračunati:

arctg 2+arctg 12\text{arctg } 2 + \text{arctg } \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Neka je α=arctg 2 \alpha = \text{arctg } 2 i β=arctg 12. \beta = \text{arctg } \frac{1}{2} . Tada na osnovu definicije arkustangensa važi:

tg α=2itg β=12\text{tg } \alpha = 2 \quad \text{i} \quad \text{tg } \beta = \frac{1}{2}

Pošto su vrednosti tangensa pozitivne, uglovi α \alpha i β \beta se nalaze u prvom kvadrantu:

α,β∈(0,π2)\alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

Primetimo vezu između tangensa ova dva ugla:

tg β=12=1tg α=ctg α\text{tg } \beta = \frac{1}{2} = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \text{ctg } \alpha

Znamo da važi trigonometrijski identitet ctg α=tg (π2−α), \text{ctg } \alpha = \text{tg } \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) , pa možemo pisati:

tg β=tg (π2−α)\text{tg } \beta = \text{tg } \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

S obzirom na to da α∈(0,π2), \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , sledi da i π2−α∈(0,π2). \frac{\pi}{2} - \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) . Pošto su oba ugla u intervalu gde je funkcija tangens injektivna (rastuća), možemo izjednačiti argumente:

β=π2−α\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha

Prebacivanjem α \alpha na levu stranu dobijamo traženi zbir:

α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}

Vraćanjem početnih smena dobijamo konačan rezultat:

arctg 2+arctg 12=π2\text{arctg } 2 + \text{arctg } \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti