2784.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Izračunati:

arctg(ctg8π3)\text{arctg}\left(\text{ctg}\frac{8\pi}{3}\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo, računamo vrednost izraza unutar zagrade, odnosno ctg8π3. \text{ctg}\frac{8\pi}{3} . Koristimo periodičnost funkcije kotangens čiji je osnovni period π. \pi .

8π3=6π+2π3=2π+2π3\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}

Primenjujemo periodičnost na funkciju kotangens:

ctg(8π3)=ctg(2π+2π3)=ctg(2π3)\text{ctg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)

Ugao 2π3 \frac{2\pi}{3} možemo zapisati kao π−π3. \pi - \frac{\pi}{3} . Koristimo svojstvo redukcije za drugi kvadrant: ctg(π−x)=−ctg(x). \text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x) .

ctg(2π3)=ctg(π−π3)=−ctg(π3)\text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right)

Znamo tabličnu vrednost ctg(π3)=33, \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} , pa dobijamo:

−ctg(π3)=−33-\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Zamenjujemo dobijenu vrednost u početni izraz:

arctg(ctg8π3)=arctg(−33)\text{arctg}\left(\text{ctg}\frac{8\pi}{3}\right) = \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Funkcija arkustangens je neparna, što znači da važi arctg(−x)=−arctg(x). \text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x) .

arctg(−33)=−arctg(33)\text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Znamo da je tg(π6)=33, \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} , a pošto π6∈(−π2,π2), \frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , po definiciji inverzne funkcije sledi da je arctg(33)=π6. \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} . Konačan rezultat je:

−arctg(33)=−π6-\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti