2783.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Izračunati: arctg(1+2)−arctg(1−2). \text{arctg}(1 + \sqrt{2}) - \text{arctg}(1 - \sqrt{2}) .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo vezu između argumenata 1+2 1 + \sqrt{2} i 1−2. 1 - \sqrt{2} . Izračunajmo njihov proizvod:

(1+2)(1−2)=12−(2)2=1−2=−1(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1

Iz dobijene jednakosti možemo izraziti 1−2: 1 - \sqrt{2} :

1−2=−11+21 - \sqrt{2} = \frac{-1}{1 + \sqrt{2}}

Zamenimo ovo u drugi sabirak početnog izraza:

arctg(1−2)=arctg(−11+2)\text{arctg}(1 - \sqrt{2}) = \text{arctg}\left(\frac{-1}{1 + \sqrt{2}}\right)

Koristimo osobinu neparnosti funkcije arkustangens, odnosno arctg(−x)=−arctgx: \text{arctg}(-x) = -\text{arctg}x :

arctg(−11+2)=−arctg(11+2)\text{arctg}\left(\frac{-1}{1 + \sqrt{2}}\right) = -\text{arctg}\left(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right)

Za svako x>0 x > 0 važi identitet arctg(1x)=arcctgx. \text{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) = \text{arcctg}x . Pošto je 1+2>0, 1 + \sqrt{2} > 0 , primenjujemo ovo pravilo:

−arctg(11+2)=−arcctg(1+2)-\text{arctg}\left(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right) = -\text{arcctg}(1 + \sqrt{2})

Vratimo se na početni izraz i zamenimo dobijeni rezultat za drugi sabirak:

arctg(1+2)−arctg(1−2)=arctg(1+2)−(−arcctg(1+2))\text{arctg}(1 + \sqrt{2}) - \text{arctg}(1 - \sqrt{2}) = \text{arctg}(1 + \sqrt{2}) - (-\text{arcctg}(1 + \sqrt{2}))

Sredimo izraz oslobađanjem od zagrade:

arctg(1+2)+arcctg(1+2)\text{arctg}(1 + \sqrt{2}) + \text{arcctg}(1 + \sqrt{2})

Koristimo poznati identitet koji povezuje arkustangens i arkuskotangens, arctgx+arcctgx=π2 \text{arctg}x + \text{arcctg}x = \frac{\pi}{2} za svako x∈R: x \in \mathbb{R} :

arctg(1+2)+arcctg(1+2)=π2\text{arctg}(1 + \sqrt{2}) + \text{arcctg}(1 + \sqrt{2}) = \frac{\pi}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti