PrethodniSledeći
2795.

872.đ

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: arcctg(−x)=π−arcctgx. \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg} x .

REŠENJE ZADATKA

Uvedimo smenu α=arcctgx. \alpha = \text{arcctg} x . Prema definiciji arkuskotangensa, ovo znači da važi sledeće:

x=ctgα,α∈(0,π)x = \text{ctg} \alpha, \quad \alpha \in (0, \pi)

Posmatrajmo sada izraz −x. -x . Zamenom x x dobijamo:

−x=−ctgα-x = -\text{ctg} \alpha

Koristeći poznati trigonometrijski identitet za kotangens suplementnog ugla, znamo da važi:

−ctgα=ctg(π−α)-\text{ctg} \alpha = \text{ctg}(\pi - \alpha)

Iz prethodna dva koraka sledi da je −x=ctg(π−α). -x = \text{ctg}(\pi - \alpha) . Da bismo primenili funkciju arkuskotangens na obe strane jednakosti, moramo proveriti da li ugao π−α \pi - \alpha pripada intervalu (0,π). (0, \pi) .

Pošto α∈(0,π), \alpha \in (0, \pi) , množenjem nejednakosti sa −1 -1 dobijamo −α∈(−π,0). -\alpha \in (-\pi, 0) . Dodavanjem π \pi svim stranama nejednakosti dobijamo:

0<π−α<π  ⟹  π−α∈(0,π)0 < \pi - \alpha < \pi \implies \pi - \alpha \in (0, \pi)

Kako ugao π−α \pi - \alpha pripada domenu arkuskotangensa, možemo primeniti definiciju inverzne funkcije na jednakost −x=ctg(π−α): -x = \text{ctg}(\pi - \alpha) :

arcctg(−x)=π−α\text{arcctg}(-x) = \pi - \alpha

Vraćanjem početne smene α=arcctgx \alpha = \text{arcctg} x dobijamo konačan dokaz traženog identiteta:

arcctg(−x)=π−arcctgx\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg} x

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu