Dopuna do kvadrata

Prilikom dopune do kvadrata (bilo kvadrata zbira ili kvadrata razlike) važno je da dodamo i oduzmemo istu vrednost kako jednakost ne bi bila narušena.

Dopuna do kvadrata zbira

1. Počinjemo od izraza: $$a^2 + 2ab$$
2. Da sačuvamo jednakost, dodajemo i oduzimamo (b^2): $$a^2 + 2ab \;=\; a^2 + 2ab + b^2 - b^2$$
3. Grupisanjem prva tri člana dobijamo potpun kvadrat: $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ pa je: $$a^2 + 2ab = (a + b)^2 - b^2$$

Primer
Za $(x^2 + 6x)$ prepoznajemo $(2ab = 6x)$ pa je $(b = 3)$.
Dodajemo i oduzimamo $(b^2 = 9)$:

$$x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9 - 9 = (x + 3)^2 - 9$$

Dopuna do kvadrata razlike

1. Počinjemo od: $$a^2 - 2ab$$
2. Dodajemo i oduzimamo (b^2): $$a^2 - 2ab = a^2 - 2ab + b^2 - b^2$$
3. Prva tri člana daju: $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$ pa je: $$a^2 - 2ab = (a - b)^2 - b^2$$

Primer
Za $(y^2 - 8y)$ prepoznajemo $(-2ab = -8y)$ pa je (b = 4).
Dodajemo i oduzimamo $(b^2 = 16)$:

$$y^2 - 8y = y^2 - 8y + 16 - 16 = (y - 4)^2 - 16$$