Dopuna do kuba

Prilikom dopune do kuba (bilo kuba zbira ili kuba razlike) važno je da dodamo i oduzmemo istu vrednost kako jednakost ne bi bila narušena.

Dopuna do kuba zbira

1. Počinjemo od izraza: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2$$
2. Da sačuvamo jednakost, dodajemo i oduzimamo $(b^3)$: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - b^3$$
3. Grupisanjem prva četiri člana dobijamo potpuni kub: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$$ pa je: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3 - b^3$$

Primer
Za $x^3 + 6x^2 + 12x$ prepoznajemo

$$3a^2b = 6x^2 \implies a = x,\; b = 2$$

Dodajemo i oduzimamo $(b^3 = 8)$:

$$x^3 + 6x^2 + 12x = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 8 = (x + 2)^3 - 8$$

Dopuna do kuba razlike

1. Počinjemo od: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2$$
2. Dodajemo i oduzimamo (b^3): $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + b^3$$
3. Prva četiri člana daju potpuni kub razlike: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$$ pa je: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 = (a - b)^3 + b^3$$

Primer
Za $y^3 - 12y^2 + 48y$ prepoznajemo

$$3a^2b = 12y^2 \implies a = y,\; b = 4$$

Dodajemo i oduzimamo $(b^3 = 64)$:

$$y^3 - 12y^2 + 48y = y^3 - 12y^2 + 48y - 64 + 64 = (y - 4)^3 + 64$$