Pozicioni zapis celog broja

Brojeve svakodnevno zapisujemo u dekadnom sistemu, odnosno sistemu sa osnovom $10$. Navikli smo da koristimo cifre od $0$ do $9$, ali to nije jedini način na koji brojevi mogu biti predstavljeni.

Računari, na primer, koriste binarni sistem sa osnovom $2$, jer elektronski uređaji prirodno razlikuju samo dva stanja: uključeno i isključeno. Pored binarnog sistema često se koriste i oktalni sistem (osnova $8$) i heksadecimalni sistem (osnova $16$).

Iako izgledaju različito, svi brojevni sistemi zasnivaju se na istom principu: vrednost cifre zavisi od njenog mesta u zapisu. U dekadnom broju $235$ cifra $2$ predstavlja dve stotine, cifra $3$ tri desetice, a cifra $5$ pet jedinica:

$235 = 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

U ovoj lekciji naučićeš kako funkcionišu različiti brojevni sistemi, kako da pretvaraš brojeve iz jedne osnove u drugu i kako se binarni, oktalni i heksadecimalni sistemi povezuju sa dekadnim zapisom koji svakodnevno koristimo.

Sadržaj

• Kako radi brojevni sistem
• 1. Iz osnove b u dekadni sistem
• 2. Iz dekadnog u osnovu b
• 3. Iz jedne osnove u drugu
• 4. Prečica: binarni, oktalni i heksadecimalni

Kako radi brojevni sistem

Sistem sa osnovom $b$ koristi cifre od $0$ do $b - 1$. Vrednost broja je zbir proizvoda svake cifre sa stepenom osnove koji odgovara njenom mestu, pri čemu se mesta broje od $0$ sa desne strane:

$\text{vrednost} = \dots + c_2 \cdot b^2 + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0$

Osnovu zapisujemo kao indeks: $1011_2$, $173_8$, $235_{10}$, $ABC_{16}$.

Za pretvaranje su dovoljna samo dva pravila: kako iz bilo koje osnove preći u dekadni, i kako iz dekadnog preći u bilo koju osnovu. Sve ostalo su kombinacije ta dva pravila.

1. Iz osnove b u dekadni sistem

Ovo je samo primena definicije: broj napišemo u razvijenom obliku i saberemo. Isto pravilo važi za svaku osnovu, menja se samo broj $b$ i njegovi stepeni.

Ako osnova ima slovne cifre, prvo ih zamenimo vrednostima. Na primer:

$3E_{16} = 3 \cdot 16 + 14 = 62$

2. Iz dekadnog u osnovu b

Broj uzastopno delimo osnovom $b$ i beležimo ostatke, sve dok količnik ne postane $0$. Traženi zapis dobijamo čitajući ostatke od poslednjeg ka prvom. I ovde je pravilo isto za svaku osnovu, samo menjamo broj kojim delimo.

Da bismo videli da je pravilo isto i za druge osnove, isti broj možemo prevesti u drugu osnovu samo menjajući delilac. Na primer, $123$ u oktalni sistem:

$123 = 8 \cdot 15 + 3, \quad 15 = 8 \cdot 1 + 7, \quad 1 = 8 \cdot 0 + 1 \implies 123_{10} = 173_8$

3. Iz jedne osnove u drugu

Kada nijedna osnova nije $10$, ne treba nam novo pravilo. Prvo iz polazne osnove pređemo u dekadni sistem (pravilo 1), pa iz dekadnog u ciljnu osnovu (pravilo 2). Dekadni sistem je most.

4. Prečica: binarni, oktalni i heksadecimalni

Kada je jedna osnova stepen druge, pretvaranje ide bez računanja preko dekadnog. Pošto je $8 = 2^3$, jedna oktalna cifra odgovara tačno trima binarnim ciframa; pošto je $16 = 2^4$, jedna heksadecimalna cifra odgovara tačno četirima binarnim. Zato binarni broj samo grupišemo.

Grupa (bin)	$000$	$001$	$010$	$011$	$100$	$101$	$110$	$111$
Cifra (okt)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$

Za heksadecimalni sistem grupišemo u četvorke. Ako krajnja leva grupa nema dovoljno cifara, dopunimo je nulama sleva:

$1010110110_2 \rightarrow 0010 \; 1011 \; 0110 = 2B6_{16}$

U suprotnom smeru svaku oktalnu cifru zamenimo sa tri bita, a svaku heksadecimalnu sa četiri bita.