Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac

U prethodnoj lekciji naučili smo kako da svaki složen broj rastavimo na njegove proste činioce. Ovaj postupak nam sada omogućava da lakše rešavamo nove probleme.

Često je potrebno da pronađemo najveći broj koji deli nekoliko brojeva ili najmanji broj koji je deljiv sa više brojeva. Za to koristimo pojmove najveći zajednički delilac (NZD) i najmanji zajednički sadržalac (NZS).

Najveći zajednički delilac (NZD)

Kada dva ili više brojeva imaju zajedničke delioce, često nas zanima najveći među njima. Taj broj nazivamo najveći zajednički delilac (NZD). Najlakše ga određujemo tako što svaki broj rastavimo na proste činioce, pa uzmemo one koji se pojavljuju u svim brojevima, svaki sa najmanjim stepenom.

Postupak

Rastavimo svaki broj na proste činioce.
Izdvojimo proste činioce koji se pojavljuju u svim brojevima.
Za svaki zajednički prost činilac uzmemo najmanji stepen.
Pomnožimo dobijene činioce.

Primer

Zadatak. Odrediti NZD brojeva $360$ i $756$ .

Rešenje.

Rastavljamo brojeve na proste činioce:

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$

Zajednički prosti činioci su $2$ i $3$ . Za svaki uzimamo najmanji stepen: kod dvojke je to $2^2$ (iz $756$ ), a kod trojke $3^2$ (iz $360$ ). Brojeve $5$ i $7$ ne uzimamo, jer nisu zajednički. Dakle:

$\text{NZD}(360, 756) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$

Pravilo

NZD dobijamo tako što uzimamo samo zajedničke proste činioce, svaki sa najmanjim stepenom.

Najmanji zajednički sadržalac (NZS)

Ponekad želimo najmanji broj koji je deljiv svim zadatim brojevima. Taj broj nazivamo najmanji zajednički sadržalac (NZS). I njega određujemo iz rastavljanja na proste činioce, samo što sada uzimamo sve činioce, svaki sa najvećim stepenom.

Postupak

Rastavimo svaki broj na proste činioce.
Zapišemo sve proste činioce koji se pojavljuju u bar jednom broju.
Za svaki prost činilac uzmemo najveći stepen.
Pomnožimo dobijene činioce.

Primer

Zadatak. Odrediti NZS brojeva $360$ i $756$ .

Rešenje.

Rastavljamo brojeve na proste činioce:

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$

Posmatramo sve proste činioce: $2$ , $3$ , $5$ i $7$ . Za svaki uzimamo najveći stepen: kod dvojke je to $2^3$ (iz $360$ ), kod trojke $3^3$ (iz $756$ ), dok se $5$ i $7$ javljaju samo jednom. Dakle:

$\text{NZS}(360, 756) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 7560$

Pravilo

NZS dobijamo tako što uzimamo sve proste činioce koji se pojavljuju u bar jednom broju, svaki sa najvećim stepenom.

Upoređivanje NZD i NZS

Pošto su postupci gotovo simetrični, najlakše ih je zapamtiti jedan pored drugog.

NZD	NZS
Tražimo zajedničke proste činioce.	Uzimamo sve proste činioce.
Biramo najmanji stepen.	Biramo najveći stepen.
Rezultat je najveći broj koji deli sve brojeve.	Rezultat je najmanji broj deljiv svim brojevima.

Kratko pravilo koje većina učenika zapamti:

NZD → zajednički činioci, najmanji stepen.
NZS → svi činioci, najveći stepen.

Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac

Sadržaj

Najveći zajednički delilac (NZD)

Postupak

Primer

Pravilo

Najmanji zajednički sadržalac (NZS)

Postupak

Primer

Pravilo

Upoređivanje NZD i NZS

Lekcije iz iste oblasti

Deljivost celih brojeva

Rastavljanje na proste činioce

Pozicioni zapis celog broja

Zadaci za vežbanje