3400.

189

TEKST ZADATKA

Kojim najvećim prirodnim brojem možemo da podelimo brojeve 79, 79 , 111 111 i 155, 155 , pa da dobijeni ostaci budu redom 7, 7 , 3 3 i 11? 11 ?

REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi broj x. x . Na osnovu uslova zadatka, pri deljenju brojeva 79, 79 , 111 111 i 155 155 brojem x x dobijamo ostatke 7, 7 , 3 3 i 11. 11 . Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, to možemo zapisati na sledeći način:

79=q1⋅x+7111=q2⋅x+3155=q3⋅x+11\begin{aligned} 79 &= q_1 \cdot x + 7 \\ 111 &= q_2 \cdot x + 3 \\ 155 &= q_3 \cdot x + 11 \end{aligned}

Ostatak pri deljenju uvek mora biti strogo manji od delioca, što znači da mora važiti x>7, x > 7 , x>3 x > 3 i x>11. x > 11 . Dakle, mora biti x>11. x > 11 . Oduzimanjem ostataka od početnih brojeva dobijamo brojeve koji su tačno deljivi sa x: x :

79−7=72111−3=108155−11=144\begin{aligned} 79 - 7 &= 72 \\ 111 - 3 &= 108 \\ 155 - 11 &= 144 \end{aligned}

Pošto tražimo najveći prirodan broj x x koji deli brojeve 72, 72 , 108 108 i 144, 144 , potrebno je da nađemo njihov najveći zajednički delilac (NZD).

x=NZD(72,108,144)x = \text{NZD}(72, 108, 144)

Da bismo našli NZD, rastavljamo brojeve na proste činioce (kanonska faktorizacija):

72=8⋅9=23⋅32108=4⋅27=22⋅33144=16⋅9=24⋅32\begin{aligned} 72 &= 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \\ 108 &= 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3 \\ 144 &= 16 \cdot 9 = 2^4 \cdot 3^2 \end{aligned}

Najveći zajednički delilac dobijamo množenjem zajedničkih prostih činilaca uzetih na najmanji izložilac koji se pojavljuje u faktorizacijama:

NZD(72,108,144)=22⋅32=4⋅9=36\text{NZD}(72, 108, 144) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36

Dobijeni broj 36 36 je veći od 11, 11 , pa ispunjava uslov za ostatke. Traženi najveći prirodni broj je 36. 36 .

x=36x = 36