Najveći delilac brojeva 79, 111 i 155 uz ostatke

Neka je traženi broj $x .$ Na osnovu uslova zadatka, pri deljenju brojeva $79 ,$ $111$ i $155$ brojem $x$ dobijamo ostatke $7 ,$ $3$ i $11 .$ Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, to možemo zapisati na sledeći način:

\begin{aligned} 79 &= q_1 \cdot x + 7 \\ 111 &= q_2 \cdot x + 3 \\ 155 &= q_3 \cdot x + 11 \end{aligned}

Ostatak pri deljenju uvek mora biti strogo manji od delioca, što znači da mora važiti $x > 7 ,$ $x > 3$ i $x > 11 .$ Dakle, mora biti $x > 11 .$ Oduzimanjem ostataka od početnih brojeva dobijamo brojeve koji su tačno deljivi sa $x :$

\begin{aligned} 79 - 7 &= 72 \\ 111 - 3 &= 108 \\ 155 - 11 &= 144 \end{aligned}

Pošto tražimo najveći prirodan broj $x$ koji deli brojeve $72 ,$ $108$ i $144 ,$ potrebno je da nađemo njihov najveći zajednički delilac (NZD).

x = \text{NZD}(72, 108, 144)

Da bismo našli NZD, rastavljamo brojeve na proste činioce (kanonska faktorizacija):

\begin{aligned} 72 &= 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \\ 108 &= 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3 \\ 144 &= 16 \cdot 9 = 2^4 \cdot 3^2 \end{aligned}

Najveći zajednički delilac dobijamo množenjem zajedničkih prostih činilaca uzetih na najmanji izložilac koji se pojavljuje u faktorizacijama:

\text{NZD}(72, 108, 144) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36

Dobijeni broj $36$ je veći od $11 ,$ pa ispunjava uslov za ostatke. Traženi najveći prirodni broj je $36 .$

x = 36

Započni učenje

Online časovi

189

Beleške