3399. NZS i NZD | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji prirodan broj koji i pri deljenju sa $12$ i pri deljenju sa $28$ daje ostatak $7 .$

REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi broj $n .$ Prema uslovu zadatka, pri deljenju broja $n$ sa $12$ i sa $28$ dobijamo ostatak $7 .$ To možemo zapisati pomoću količnika $q_1$ i $q_2 :$

\begin{aligned} n &= 12 \cdot q_1 + 7 \\ n &= 28 \cdot q_2 + 7 \end{aligned}

Ako od broja $n$ oduzmemo ostatak $7 ,$ dobijeni broj $n - 7$ biće deljiv bez ostatka i sa $12$ i sa $28 .$

\begin{aligned} n - 7 &= 12 \cdot q_1 \\ n - 7 &= 28 \cdot q_2 \end{aligned}

Pošto tražimo najmanji takav prirodan broj $n ,$ broj $n - 7$ mora biti najmanji zajednički sadržalac (NZS) za brojeve $12$ i $28 .$

n - 7 = \text{NZS}(12, 28)

Da bismo odredili NZS, prvo ćemo rastaviti brojeve $12$ i $28$ na proste činioce (kanonska faktorizacija).

\begin{aligned} 12 &= 2^2 \cdot 3 \\ 28 &= 2^2 \cdot 7 \end{aligned}

Najmanji zajednički sadržalac dobijamo kao proizvod svih prostih činilaca koji se pojavljuju u faktorizaciji, uzetih sa najvećim izložiocem.

\text{NZS}(12, 28) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84

Sada možemo izračunati traženi broj $n .$

\begin{aligned} n - 7 &= 84 \\ n &= 84 + 7 \\ n &= 91 \end{aligned}

Najmanji prirodan broj koji ispunjava uslove zadatka je $91 .$

n = 91

188